Chủ đề này có 7 trả lời

[dtthltvp]

1)Cho 2 số $p,q$ thỏa mãn $p^3+q^3=2$. Chứng minh rằng $0<p+q\leq 2$.

2)Cho a,b,c là các số dương tùy ý. CMR:

 $\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$.

3)Cho $1\leq a,b\leq 2$. Tìm GTLN và GTNN của : $P=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtthltvp: 02-01-2016 - 10:20

[meomunsociu]

3. Đã có ở đây: http://diendantoanho...b-right2-a3-b3/

[royal1534]

.2)Cho a,b,c là các số dương tùy ý. CMR:

 $\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$.

 

BĐT cần chứng minh 

$\leftrightarrow \frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c} \geq 3$

$\leftrightarrow \frac{ab+c^{2}}{c(c+a)}+\frac{bc+a^{2}}{a(a+b)}+\frac{ca+b^{2}}{b+c} \geq 3$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$VT \geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})}{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Bài toán quy về chứng minh:

$(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2}) \geq (a+b)(b+c)(c+a)$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

$(ab+c^{2})(b+a) \geq a(b+c)^{2}$

Thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[Element hero Neos]

1)Cho 2 số $p,q$ thỏa mãn $p^3+q^3=2$. Chứng minh rằng $0<p,q\leq 2$.

2)Cho a,b,c là các số dương tùy ý. CMR:

 $\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$.

3)Cho $1\leq a,b\leq 2$. Tìm GTLN và GTNN của : $P=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}$.

Bài $1$ sai đề (ví dụ $p=3>2, q=\sqrt[3]{-25}<0$ vẫn thoả mãn $p^{3}+q^{3}=2$)

[dtthltvp]

Đã sửa đề!

[minhrongcon2000]

1)Cho 2 số $p,q$ thỏa mãn $p^3+q^3=2$. Chứng minh rằng $0<p+q\leq 2$.

Giả sử $p+q\leqslant 0\Leftrightarrow p\leqslant -q$

$\Leftrightarrow p^{3}\leqslant -q^{3}\Leftrightarrow p^{3}+q^{3}\leqslant 0$ (Vô lí)

Suy ra $p+q> 0$

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

$\left\{\begin{matrix} p^{3}+1+1\geqslant 3p\\ q^{3}+2\geqslant 3q \end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế, ta có $p+q\leqslant \frac{p^{3}+q^{3}+4}{3}=2$

Suy ra đpcm. 

[dtthltvp]

 

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

$\left\{\begin{matrix} p^{3}+1+1\geqslant 3p\\ q^{3}+2\geqslant 3q \end{matrix}\right.$

 

$p,q$ đâu có $>0$ anh?

[minhrongcon2000]

$p,q$ đâu có $>0$ anh?

Sorry bạn! Mình nhầm! Bài này chúng ta tiếp tục phản chứng như phần trên

Giả sử $p+q>2 \Leftrightarrow p>2-q\Leftrightarrow p^{3}> (2-q)^{3}=8-12q+6q^{2}-q^{3}$

$\Leftrightarrow p^{3}+q^{3}> 6q^{2}-12q+8=6(q-1)^{2}+2\geqslant 2$ (Vô lý)

Suy ra $p+q\leqslant 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 02-01-2016 - 10:59