Chủ đề này có 2 trả lời

[happyfree]

1.Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$.

CMR:$\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy+yz+xz$

[NTA1907]

1.Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$.

CMR:$\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy+yz+xz$

Ta có:

$\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}=\sum \frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}$

Mà $3=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}\Rightarrow \sqrt[3]{xyz}\leq 1$

$\Rightarrow \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum x\sqrt[3]{x}$

Ta có:

$(\sum x\sqrt[3]{x})(\sum \sqrt[3]{x^{2}})\geq (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$

$\Rightarrow \sum x\sqrt[3]{x}\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{\sum \sqrt[3]{x^{2}}}$

Mà $\sum \sqrt[3]{x^{2}.1.1}\leq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+6}{3}=3$

$\Rightarrow$ đpcm

[KietLW9]

1.Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$.

CMR:$\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy+yz+xz$

Ta dễ có: $(x+y+z)^2\leqslant 3(x^2+y^2+z^2)=9\Rightarrow x+y+z\leqslant 3=x^2+y^2+z^2$

Áp dụng Cauchy và Cauchy-Schwarz dạng phân thức: $VT=\frac{x}{\sqrt{y.z.1}}+\frac{y}{\sqrt{z.x.1}}+\frac{z}{\sqrt{x.y.1}}\geqslant \frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}\geqslant \frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)+x+y+z}\geqslant \frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1$