Bài 7b.
Sử dụng kết quả cơ bản về số hoàn chỉnh chẵn như sau:
Bổ đề 1. Nếu $n$ là một số hoàn chỉnh chẵn thì $n$ có dạng:
$n=2^{k}\left ( 2^{k+1}-1 \right )$, trong đó $k\geqslant 1$ và $2^{k+1}-1$ là một số nguyên tố.
Bổ đề 2. kết quả câu 7a thì nếu $n$ là số hoàn chỉnh lẻ thì $n$ có dạng
$n=p^{s}m^{2}$ trong đó $p$ là số nguyên tố dạng $4t+1$, $s$ là số nguyên dương dạng $4h+1$
và $(m,p)=1$.
Khi đó ta xét các trường hợp sau:
TH1. Nếu $n$ là số lẻ thì $n-1$ là số chẵn theo bổ đề 1 ta có
$n-1=2^{k}\left ( 2^{k+1}-1 \right )$, trong đó $k\geqslant 1$ và $2^{k+1}-1$ là một số nguyên tố.
+) Nếu $k=1$ thì $n=7$ kiểm tra thấy đúng.
+) Nếu $k>1$ thì $n \equiv 1\left( {\bmod 4} \right)$
suy ra $n+1 \equiv 2\left( {\bmod 4} \right)$
suy ra $\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$ là một số lẻ nên theo bổ đề 2 ta có:
$n\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right) = {p^s}{m^2} \Rightarrow \exists a,b,\left( {a,b} \right) = 1$ sao cho
$n = {p^s}{a^2};\frac{{n + 1}}{2} = {b^2} \Leftrightarrow n = {p^s}{a^2};n + 1 = 2{b^2}$
hoặc $\frac{{n + 1}}{2} = {p^s}{a^2},n = {b^2} \Leftrightarrow n + 1 = 2{p^s}{a^2},n = {b^2}$
a) Nếu $n = {p^s}{a^2},\frac{{n + 1}}{2} = {b^2} \Leftrightarrow n = {p^s}{a^2},n + 1 = 2{b^2}$
suy ra $n + 1 = 2{b^2} \Leftrightarrow {2^k}\left( {{2^{k + 1}} - 1} \right) + 2 = 2{b^2} \Leftrightarrow {\left( {{{4.2}^k} - 1} \right)^2} - {\left( {4b} \right)^2} = - 15$
Vô nghiệm.
b) Nếu $\frac{{n + 1}}{2} = {p^s}{a^2},n = {b^2} \Leftrightarrow n + 1 = 2{p^s}{a^2},n = {b^2}$
ta có $n - 1 = {b^2} - 1 \Leftrightarrow {2^k}\left( {{2^{k + 1}} - 1} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right)$
Kết hợp với $b$ là số lẻ nên $\frac{{b + 1}}{2}$ lẻ
suy ra $b - 1 = {2^{k - 1}},b + 1 = 2\left( {{2^{k + 1}} - 1} \right)$ không xảy ra.
Vậy TH1 chỉ có $n=7$ thỏa mãn.
TH2. Nếu $n$ là số chẵn thì $n-1$ là số lẻ theo kết quả bổ đề 2 ta có
$n-1=p^{s}\left ( m^{2} \right )$, trong đó $p,s,m$ xác định như trong bổ đề 2. Do $n-1$ lẻ nên $m$ cũng là số lẻ
Ta có $n=p^{s}\left ( m^{2} \right )+1 \equiv 2\left( {\bmod 4} \right)$ suy ra $\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$ là số lẻ nên theo bổ đề 2
ta có $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = p_1^{{s_1}}{m^2} \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left( {n + 1} \right) = p_1^{{s_1}}{m^2}$
Từ đẳng thức này tồn tại hai số nguyên dương $a,b,(a,b)=1$ thỏa mãn
$\frac{n}{2} = p_1^{{s_1}}{a^2},n + 1 = {b^2}{\rm{ }}$
hoặc $\frac{n}{2} = {a^2},n + 1 = p_1^{{s_1}}{b^2}$
a) Nếu $\frac{n}{2} = p_1^{{s_1}}{a^2},n + 1 = {b^2}$
Ta có $n + 1 = {b^2} \Leftrightarrow {p^s}.{m^2} + 2 = {b^2}$, kết hợp với $m$ lẻ và $p \equiv 1\left( {\bmod 4} \right)$
suy ra ${b^2} \equiv 3\left( {\bmod 4} \right)$ vô lí.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thangk50: 08-01-2016 - 06:48