Chủ đề này có 2 trả lời

[nloan2k1]

 Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa:  $x+y+z=1$

Tìm min $ \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+ \frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+ \frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 11-01-2016 - 18:45

[royal1534]

 Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa:  $x+y+z=1$

Tìm min $ \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+ \frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+ \frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

Đặt $P=\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

       $Q=\sum \frac{y^{4}}{(x^2+y^2)(x+y)}$

----

Xét:$P-Q=\sum \frac{x^{4}}{\left ( x^{2} +y^{2}\right )\left ( x+y \right )}-\sum \frac{y^{4}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )}=\sum \left ( x-y \right )=0$

$\rightarrow P=Q$

$2P=P+Q=\sum \frac{x^{4}+y^{4}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )}$ $\geq \frac{\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2\left ( x+y \right )}\geq \frac{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}}{2\left ( x+y \right )}=\frac{x+y}{4}$

Do đó $2P\geq \sum \frac{x+y}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow P\geq \frac{1}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Dinh Xuan Hung]

 Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa:  $x+y+z=1$

Tìm min $ \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+ \frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+ \frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

 

Ta có:$x-y+y-z+z-x=\sum \frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=0$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=\sum \frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

 

$\Leftrightarrow 2\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=\sum \frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$

 

Áp dụng BĐT C-S ta có:

 

$x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \frac{(x^2+y^2)(x+y)^2}{4}\Leftrightarrow \frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \frac{x+y}{4}$

 

CMTT rồi cộng vế với vế suy ra GTNN của P là $1/4$