Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyentiendung9372]

Cho $a, b$ là các số nguyên dương

Chứng minh rằng $\frac{(3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!}{(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!(b!)^{2}}\in Z$

[the man]

Cho $a, b$ là các số nguyên dương

Chứng minh rằng $\frac{(3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!}{(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!(b!)^{2}}\in Z$

Mình nghĩ đề bài nên là thế này thì sẽ chặt hơn 

$$\frac{(3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!}{(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)^{2}}\in \mathbb{Z}$$

Ý tưởng là sẽ chứng minh rằng khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì số mũ của mọi số nguyên tố $p$ ở tử sẽ lớn hơn ở mẫu

Xét số nguyên tố $p$ bất kì

$v_p((3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!)=\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{3a+3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2a}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2b}{p^k} \right \rfloor$

$v_p((2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)^2)=\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2a+3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a+2b}{p^k} \right \rfloor$

                                                                                        $+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a+b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a}{p^k} \right \rfloor+2\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{b}{p^k} \right \rfloor$

Đặt  $x_k=\frac{a}{p^k},y_k=\frac{b}{y^k}$

Bài toán quy về chứng minh :

$$\left \lfloor  3x+3y\right \rfloor+\left \lfloor  2x\right \rfloor+\left \lfloor  3y\right \rfloor+\left \lfloor  2y\right \rfloor \geq \left \lfloor  2x+3y\right \rfloor+\left \lfloor  x+2y\right \rfloor+\left \lfloor  x+y\right \rfloor+\left \lfloor  x\right \rfloor+2\left \lfloor  y\right \rfloor $$

Ai giúp mình chứng minh nốt phần này nhé     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 18-01-2016 - 20:30