Cho $a, b$ là các số nguyên dương
Chứng minh rằng $\frac{(3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!}{(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!(b!)^{2}}\in Z$
Cho $a, b$ là các số nguyên dương
Chứng minh rằng $\frac{(3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!}{(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!(b!)^{2}}\in Z$
Mình nghĩ đề bài nên là thế này thì sẽ chặt hơn
$$\frac{(3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!}{(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)^{2}}\in \mathbb{Z}$$
Ý tưởng là sẽ chứng minh rằng khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì số mũ của mọi số nguyên tố $p$ ở tử sẽ lớn hơn ở mẫu
Xét số nguyên tố $p$ bất kì
$v_p((3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!)=\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{3a+3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2a}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2b}{p^k} \right \rfloor$
$v_p((2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)^2)=\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{2a+3b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a+2b}{p^k} \right \rfloor$
$+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a+b}{p^k} \right \rfloor+\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{a}{p^k} \right \rfloor+2\sum_{k=1}\left \lfloor \frac{b}{p^k} \right \rfloor$
Đặt $x_k=\frac{a}{p^k},y_k=\frac{b}{y^k}$
Bài toán quy về chứng minh :
$$\left \lfloor 3x+3y\right \rfloor+\left \lfloor 2x\right \rfloor+\left \lfloor 3y\right \rfloor+\left \lfloor 2y\right \rfloor \geq \left \lfloor 2x+3y\right \rfloor+\left \lfloor x+2y\right \rfloor+\left \lfloor x+y\right \rfloor+\left \lfloor x\right \rfloor+2\left \lfloor y\right \rfloor $$
Ai giúp mình chứng minh nốt phần này nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 18-01-2016 - 20:30
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh