Chủ đề này có 2 trả lời

[quanguefa]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa $x+y+z=3xyz$. Chứng minh BĐT:

$\sum \frac{y^{2}}{x^{3}(3y^{2}+1)}\geq \frac{3}{4}$

[royal1534]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa $x+y+z=3xyz$. Chứng minh BĐT:

$\sum \frac{y^{2}}{x^{3}(3y^{2}+1)}\geq \frac{3}{4}$

Từ giả thiết $\rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3$

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$

$\rightarrow ab+bc+ca=3$

BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3} \geq \frac{3}{4}$

Mặt khác ta có $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}=\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}$

Ta quy bài toán về chứng minh: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)} \geq \frac{3}{4}$

Sử dụng bđt AM-GM ta có 

$\frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{64}}=\frac{3}{4}a$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có:

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b+c}{2} \geq \frac{3}{4}(a+b+c)$

$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)} \geq \frac{a+b+c}{4} \geq \frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{4}=\frac{3}{4}$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1 \Leftrightarrow x=y=z=1$ 

[nguyenquangvuong99]

ta đặt x=1/a, y=1/b, z=1/c 

khi đó $\frac{y^{2}}{x^{3}.(3y^{2}+1)}$ = $a^{3}/(b^{2}+3)$. thế vào là ra à. ở dưới mẫu rút gọn được b^{2}.

tương tự ta có : $\frac{z^{2}}{y^{3}.(3z^{2}+1)}$ = $b^{3}/(c^{2}+3)$ 

                $\frac{x^{2}}{z^{3}.(3x^{2}+1)}$ = $c^{3}/(a^{2}+3)$

ta lại có :với cách đặt trên thì: ab+bc+ca=3.  

nên BDT cần chứng minh tương đương : $a^{3}/(b^{2}+3)$ + $b^{3}/(c^{2}+3)$ + $c^{3}/(a^{2}+3)$ $\geq$ 3/4

ta dể dàng có được  : $\frac{a^{3}}{b^{2}+3}$ + $frac{b^{3}}{c^{2}+3}$ + $\frac{c^{3}}{a^{2}+3}$ = $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$

ta có : $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b+c}{8}$ + $\frac{b+a}{8}$ \geq  $\frac{3a}{4}$

tương tự : $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{b+c}{8}$ + $\frac{c+a}{8}$ \geq  $\frac{3b}{4}$

  $\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$ + $\frac{a+c}{8}$ + $\frac{b+a}{8}$ \geq  $\frac{3c}{4}$ 

cộng vế theo vế suy ra được $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$ \geq   $\frac{a+b+c}{4}$ . mà $(a+c+b)^{2}\geq 3.(ab+bc+ac)$ suy ra a+b+c \geq 3 

vậy bất đẳng thức được chứng minh