Chủ đề này có 1 trả lời

[the man]

Bài toán:

Tìm các số nguyên không âm $a,b$ thỏa mãn:  

$$a^2+2.3^b=a(2^{b+1}-1)$$

[Zaraki]

Ý tưởng. Phương trình tương đương với $a \left( 2^{b+1}-1-a \right) = 2 \cdot 3^b$. Khi đó $a=3^x$ hoặc $a=2 \cdot 3^x$ với $x \in \mathbb{N}$. Từ đây ta suy ra $2^{b+1}-1=3^m+2 \cdot 3^{b-m} \; (m \in \mathbb{N})$ (nếu $a=3^x$ thì $x=m$, nếu $a= 2 \cdot 3^x$ thì $x=b-m$).

 

Nếu $m \le b-m$ thì $2^{b+1}-1 = 3^m \left( 1+2 \cdot 3^{b-2m} \right)$. Với $m=0$ thì $2^{b+1}=2+2 \cdot 3^b$ suy ra $2^b-3^b=1$, mâu thuẫn. Vậy $m \ge 1$. Khi đó $3 \mid 2^{b+1}-1$ suy ra $2 \mid b+1$. Ta có $v_2 \left( 2^{b+1}-1 \right) =m$ hay $v_2(b+1)+1=m$ suy ra $b+1=3^{m-1} \cdot K \; (3 \nmid K)$. Khi đó

\begin{equation} \label{1} 2^{3^{m-1}K}-1=3^m+2 \cdot 3^{3^{m-1}K-1-m}. \end{equation}

Quy nạp để chứng minh rằng với mọi $m \ge 4$, ta luôn có $3^{3^{m-1}K-1-m} > 2^{3^{m-1}K}$ với $K \ge 1$.

Do đó $1 \le m \le 3$. Xét từng trường hợp $m$ để đưa $\eqref{1}$ về biến $K$, từ đó tiếp tục giới hạn $K$ dựa vào đánh giá hai vế phương trình.

 

Trường hợp $m>b-m$ tương tự.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 14-01-2016 - 10:30