Chủ đề này có 1 trả lời

[hungvdqn1234]

[cristianoronaldo]

12524017_426179997581359_4693426805295572527_n.jpg

Ta có:

$\sum \sqrt{xy}\leq \sum x= 3$

Ta sẽ chứng minh:

$\sum \frac{1}{x^2+y^2+2}\leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^2+y^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2)+6}= \frac{2(x^2+y^2+z^2)+2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}}{2(x^2+y^2+z^2)+6}$

Như vậy ta cần chứng minh:

$\frac{\sum x^2+\sum \sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}}{.\sum x^2+3}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}\geq \sum x^2+9$

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}\geq \sum x^2+(\sum x)^2$

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}\geq \sum x^2+\sum xy$

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có;

$\sum \sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}\geq \sum \sqrt{(\sqrt{y^2.y^2}+\sqrt{x^2.z^2})^2}= \sum x^2+\sum xy$

Như vậy ta được:P $\leq \frac{15}{4}$
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=1