Chủ đề này có 9 trả lời

[ndt063]

Cho x, y, z dương sao cho $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3y+3z+2x}+\frac{1}{3z+3x+2y}$

[tpdtthltvp]

Cho x, y, z dương sao cho $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3y+3z+2x}+\frac{1}{3z+3x+2y}$

Ta có:

$6=\sum \frac{1}{x+y}\geq \sum \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 12$

Nên

$P=\sum \frac{1}{3x+3y+3z}=\sum \frac{1}{(x+z)+(x+z)+(x+y)+2y}\leq \frac{1}{16}(\frac{3}{x+y}+\frac{3}{y+z}+\frac{3}{z+x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z})\leq \frac{1}{16}.(18+6)=\frac{3}{2}$ 

[ndt063]

Ta có:

$6=\sum \frac{1}{x+y}\geq \sum \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 12$

Nên

$P=\sum \frac{1}{3x+3y+3z}=\sum \frac{1}{(x+z)+(x+z)+(x+y)+2y}\leq \frac{1}{16}(\frac{3}{x+y}+\frac{3}{y+z}+\frac{3}{z+x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z})\leq \frac{1}{16}.(18+6)=\frac{3}{2}$ 

Bạn ơi:

$6=\sum \frac{1}{x+y}\leq\sum \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 12$

chứ nhỉ. mà như thế thì đoạn sau không còn đúng

[nguyenduy287]

Cho x, y, z dương sao cho $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3y+3z+2x}+\frac{1}{3z+3x+2y}$

ta có $6=\sum \frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2\sum x}$

$\sum x\geq \frac{3}{4}$

bđt viết lại $\sum \frac{1}{3x+3y+2z}=\sum \frac{1}{x+y+2(x+y+z)}\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{1}{x+y} +\frac{3}{2(x+y+z)}\right )\leq \frac{1}{4}(6+\frac{3}{3/2})= 2$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1/4

[tritanngo99]

ta có $6=\sum \frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2\sum x}$

$\sum x\geq \frac{3}{4}$

bđt viết lại $\sum \frac{1}{3x+3y+2z}=\sum \frac{1}{x+y+2(x+y+z)}\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{1}{x+y} +\frac{3}{2(x+y+z)}\right )\leq \frac{1}{4}(6+\frac{3}{3/2})= 2$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1/4

Áp dụng BDT BCS ta có:

$P=\sum \frac{1}{3x+3y+2z}\le \sum\frac{1}{16}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y})=\frac{1}{16}(6*3+6)=\frac{3}{2}$.

Vậy $MaxP=\frac{3}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 07-06-2016 - 08:19

[nguyenduy287]

Áp dụng BDT BCS ta có:

$P=\sum \frac{1}{3x+3y+2z}\le \sum\frac{1}{16}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y})=\frac{1}{16}(6*3+6)=\frac{3}{2}$.

Vậy $MaxP=\frac{3}{2}$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{4}$

hình như bị nhầm mất dấu ở hàng 2 rồi bạn ơi cảm ơn bạn mình sẽ xem lại lời giải bài của mình

[tritanngo99]

hình như bị nhầm mất dấu ở hàng 2 rồi bạn ơi cảm ơn bạn mình sẽ xem lại lời giải bài của mình

Không nó đúng rồi đấy.

Mình viết tường minh như sau:

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge^{BCS} \frac{16}{x+y+y+z+z+x+x+y}=\frac{16}{3x+3y+2z}$

=> $\frac{1}{3x+3y+2z}\le \frac{1}{16}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y})$

Các bất đẳng thức còn lại tương tự rồi cộng lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 07-06-2016 - 08:28

[nguyenduy287]

Không nó đúng rồi đấy.

Mình viết tường minh như sau:

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge^{BCS} \frac{16}{x+y+y+z+z+x+x+y}=\frac{16}{3x+3y+2z}$

=> $\frac{1}{3x+3y+2z}\le \frac{1}{16}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y})$

Các bất đẳng thức còn lại tương tự rồi cộng lại

mình hiểu cách của bạn .... ý mình là lúc đấy mình thấy bạn ghi nhầm dấu lớn hơn nên mình nhắc thôi chứ cách của bạn đúng

[thantrunghieu202]

Ta có:

$6=\sum \frac{1}{x+y}\geq \sum \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq 12$

Nên

$P=\sum \frac{1}{3x+3y+3z}=\sum \frac{1}{(x+z)+(x+z)+(x+y)+2y}\leq \frac{1}{16}(\frac{3}{x+y}+\frac{3}{y+z}+\frac{3}{z+x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z})\leq \frac{1}{16}.(18+6)=\frac{3}{2}$ 

nhầm bước đầu rùi bạn ơi  \leq  chứ không phải \geq ở chỗ bước đầu ấy

[thantrunghieu202]

Cho x, y, z dương sao cho $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3y+3z+2x}+\frac{1}{3z+3x+2y}$

Chuẩn luôn nè m.n

Hình gửi kèm

•