Chủ đề này có 1 trả lời

[ngochapid]

Với $a,b,c$ là các số thực dương, CMR:

$\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\geqslant \sqrt{a^2+c^2}$

 

[Quoc Tuan Qbdh]

Với $a,b,c$ là các số thực dương, CMR:

$\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}\geqslant \sqrt{a^2+c^2}$

 

 

Bổ đề ( BĐT $Mincowxki$ ) Ta luôn có : $\sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}} \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}$

Chứng minh :
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có : $\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})} \geq ac+bd$

Do đó $(a+c)^{2}+(b+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ac+bd) \leq (a^{2}+b^{2})+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}+(c^{2}+d^{2})$
$=(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}})^{2}$ Suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $ad=bc$
 

Sử dụng Bổ Đề ta có :

$\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}=\sqrt{(b-\frac{\sqrt{3}a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}+\sqrt{(\frac{c}{2}-b)^{2}+(\frac{\sqrt{3}c}{2})^{2}}$
$\geq \sqrt{(b-\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{c}{2}-b)^{2}+(\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}c}{2})^{2}}=\sqrt{((\frac{c}{2}-\frac{\sqrt{3}a}{2})^{2}+(\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}c}{2})^{2}}$

$=\sqrt{a^{2}+c^{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi $(b-\frac{\sqrt{3}a}{2}).\frac{\sqrt{3}c}{2}=\frac{a}{2}(\frac{c}{2}-b)$ Hay $b=\frac{ac}{\frac{\sqrt{3}c}{2}+\frac{a}{2}}$