Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 6. Chứng minh rằng $\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}\geq 1$
$\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}\geq 1$
Bắt đầu bởi hocsinhthcs00, 15-01-2016 - 21:13
#2
Đã gửi 16-04-2021 - 19:07
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\geqslant 2$
Ta có: $\frac{2a}{b^2+2}=a-\frac{ab^2}{b^2+2}=a-\frac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\geqslant a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^4}}=a-\frac{\sqrt[3]{2a^3b^2}}{3}=a-\frac{\sqrt[3]{ab.ab.2a}}{3}\geqslant a-\frac{ab+ab+2a}{9}=\frac{7}{9}a-\frac{2}{9}ab$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\geqslant \frac{7}{9}(a+b+c)-\frac{2}{9}(ab+bc+ca)\geqslant \frac{7}{9}(a+b+c)-\frac{2}{9}.\frac{(a+b+c)^2}{3}=2(Q.E.D)$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 2$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
