một bài nữa:
Bài 79:
Với x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}= 3$
Chứng minh rằng:
$P= \frac{x}{\sqrt{x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{z+2x}}\geq \sqrt{xyz+2}$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
$P=\sum \frac{x^2}{x\sqrt{x+2y}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum x\sqrt{x+2y}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)}}=\sqrt{x+y+z}$
Ta sẽ chứng minh rằng $x+y+z\geq xyz+2$ $(\star)$
Thật vậy: Sử dụng AM-GM $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=\sum (x\sqrt{x}+y\sqrt{x})+\sum x\sqrt{y}\geq 3\sum x\sqrt{y}=9$
Mà $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq (x+y+z)\sqrt{3(x+y+z)}$ (AM-GM) nên $\Rightarrow x+y+z\geq 3$. Cũng dễ CMR $xyz\leq 1\rightarrow xyz+1\leq 3$
Do đó $(\star)$ đúng, ta có đpcm
Bài 80:
Cho $ x, y, z $ là các số thực dương thỏa mãn $ x+y+z=3 $
Chứng minh rằng: $ x^{4}y^{4}z^{4}(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \le 3 $
Viết lại $A=x^4y^4z^4(x^3+y^3+z^3)= x^4y^4z^4[(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+3xyz]$
$A=x^4y^4z^4[27-9(xy+yz+xz)+3xyz]$
Ta có BĐT phụ quen thuộc sau $(x+y+z)^5\geq 81xyz(x^2+y^2+z^2)\Leftrightarrow xyz[9-2(xy+yz+xz)]\leq 3$
$\Rightarrow 2A= x^3y^3z^3[54xyz-18xyz(xy+yz+xz)+6x^2y^2z^2]\leq x^3y^3z^3(27-27xyz+6x^2y^2z^2)=t^3(27-27t+6t^2)$
Ta cần chứng minh $t^3(27-27t+6t^2)\leq 6\Leftrightarrow 6(t^4+t^3+t^2+t+1)\geq 27t^3$. Điều này luôn đúng vì $t\leq 1$ theo AM-GM:
$6(t^4+t^2)+6t^3+6(t+1)\geq 12t^3+6t^3+12t^3>27t^3$
Do đó $2A\leq 6\rightarrow A\leq 3$ ( đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 16-02-2016 - 03:36