Ta chỉ cần chứng minh
\[(a+b+c)^3 \geqslant 6\sqrt{3}|(a-b)(b-c)(c-a)|.\]
Giả sử $a \geqslant b \geqslant c.$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[\begin{aligned} \left |(a-b)(b-c)(c-a)\right| &=(a-c)(b-c)(a-b)\\&\le (a+c)\cdot b \cdot (a+c-b)\\&=\frac{1}{2} \cdot \left (1+\sqrt{3} \right )(a+c)\cdot b \left ( -1+\sqrt{3} \right ) \cdot (a+c-b)\\& \le \frac{1}{2}\left [ \frac{\left (1+\sqrt{3} \right )(a+c)+ b \left ( -1+\sqrt{3} \right ) + (a+c-b)}{3} \right ]^3\\& =\frac{1}{6\sqrt{3}}(a+b+c)^3.\end{aligned}\]
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
bình phương => ta chứng minh bđt manh hơn (a-b)2(b-c)2(c-a)2$\leq \frac{27}{4}$ ta có$(b-c)^{2}\leq b^{2},(a-c)^{2}\leq a^{2}$
ta chứng minh$4a^{2}b^{2}(a-b)^{2}\leq 27$ áp dụng AM-GM ta có $4a^{2}b^{2}(a-b)^{2}\leq (\frac{2ab+2ab+(a-b)^{3}}{27})$ =$\frac{(a+b)^{6}}{27}$ mà a+b<=a+b+c=3 +. dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 22-02-2016 - 10:43