Chủ đề này có 223 trả lời

[superpower]

Bài 98:Cho $a,b,c$ là các số thực dương

C/m

$\sum \frac{a^4}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 16-03-2016 - 18:42

[Nguyenhuyen_AG]

Topic này bỏ hoang rồi ư?

Bài 93:

Với các số thực dương x,y,z thỏa mãn tổng là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P= \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\frac{1-z}{1+z}}$

 

Bất đẳng thức này hay mà không ai giải nhỉ.

[ineX]

Bất đẳng thức này hay mà không ai giải nhỉ.

bài đó ý tưởng là chứng minh $\frac{1-x}{1+x}\geq \left ( 1-x \right )^{2}$ dựa vào tiếp tuyến ạ!

[Element hero Neos]

Bài 99: 

  Cho $a,b$ là hai số thực không âm thoả mãn $a+b=2$

  Chứng minh rằng: $2\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{ab}\leq \sqrt{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 16-03-2016 - 20:05

[ineX]

Bài 100:

Cho n số thực $a_{1};a_{2};...;a_{n}$  có tổng các bình phương là 3

Chứng minh rằng:

$-\sqrt{2}\leq \left | \frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}+...+\frac{a_{n}}{n+1} \right |\leq \sqrt{2}$

[olympiachapcanhuocmo]

Bài 101:Cho  a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : ab+bc+ca=1

Chứng minh rằng : $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

[royal1534]

Bài 101:Cho  a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : ab+bc+ca=1

Chứng minh rằng : $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

Áp dụng bđt Iran 96 ta có 

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}} \geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}=\frac{9}{4}$ (1)

 

Ta cần chứng minh $\frac{2}{(a+b)(b+c)}+\frac{2}{(b+c)(c+a)}+\frac{2}{(c+a)(a+b)} \geq 4$ (2)

Bất đẳng thức này $\Leftrightarrow abc \geq 0$ :Đúng

Cộng (1) và (2) lại ta có $(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})^2 \geq \frac{25}{4}$

                            $ \Leftrightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$

Bài toán được chứng minh.Dấu '=' xảy ra khi $(x,y,z)=(1,1,0)$ và các hoán vị

-----------------------

P/s: Cách chứng minh bđt Iran 96 bạn xem tại đây

     .À,Mà các bạn giải bài đi.Đăng bài ít lại thôi  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-03-2016 - 21:43

[olympiachapcanhuocmo]

-Bạn có thể giải bằng kiến thức THCS được không ?

-Hãy tìm ra đúng bản chất của nó , một cách thật đơn giản , dễ hiểu , đừng quá máy móc được không ?

- Và đây là lời giải của tôi , các bạn tham khảo và cho ý kiến nhé :

$\sum \frac{1}{a+b}$

=$\frac{\sum a^{2}+3\sum ab}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )(c+a)}$

$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+1}{\left ( a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\right) }$

$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+1}{a+b+c-abc}$

- Đến đây ta có bổ đề sau : $a+b+c+\frac{5}{3}abc\geq 2$ với giả thiết như đề bài ( Chứng minh bằng phép thế--các bạn tự cm nhé )

- Do đó : bđt cần chứng minh tương đương với :

$\frac{x^{2}+1}{x-\frac{1}{5}(6-3x)}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow (x-2)^{2}\geq 0$ luôn đúng

 

[royal1534]

Bài 94:Cho $a,b,c>0$ . $a^2+b^2+c^2=1$ Chứng minh: $\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}\geqslant 1$

Sử dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có
$VT=\sum \frac{a^2}{1+b-a}=\sum \frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3} \geq \frac{(a^2+b^2+c)^2}{a^2+b^2+c^2+a^2b+b^2c+c^2a-a^3-b^3-c^3}$

Ta cần chứng minh $a^2b+b^2c+c^2a \leq a^3+b^3+c^3$

Theo bđt AM-GM ta có:

$a^3+a^3+b^3 \geq 3\sqrt{a^3.a^3.b^3}=3a^2b$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta được đpcm

$\rightarrow VT \geq \frac{(a^2+b^2+c)^2}{a^2+b^2+c^2+a^2b+b^2c+c^2a-a^3-b^3-c^3} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1$

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[Chris yang]

bài bất mới 
Bài 95:cho a,b,c là các số thực dương

$ab^2+bc^2+ca^2=3$ 
chứng minh rằng $\frac{2a^5+3b^5}{ab}+\frac{2b^5+3c^5}{bc}+\frac{2c^5+3a^5}{ac} \geq 15(a^3+b^3+c^3-2)$ 
----------- Đề Thanh Hóa--- nguồn : facebook 
ps topic hay mong nó tiếp tục phát triển           

Đã được giải tại đây

 

Em xin gửi hai bài ạ:

Bài 96: Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn điều kiện:

                                     $abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2016}$.

Chứng minh rằng: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\geq 2016$.

Bài 97: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:

                                      $\frac{32}{a+32}+\frac{3}{2b+3}\leq \frac{4c}{4c+21}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $abc$.

 

Bài 96:

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=[(ab-1)^2+(a+b)^2][(c+d)^2+(cd-1)^2]$

hay $\text{VT}\geq [(ab-1)(c+d)+(cd-1)(a+b)]^2=2016$

 

Bài 97:

Điều kiện tương đương với $8abc\geq 256c^2+1344b+63a+384c+4032$

Áp dụng BĐT AM-GM: $\text{VP}=256c^2+384c+448b+448b+448b+21a+21a+21a+4032\geq 9\sqrt[9]{2^{39}3^67^6(abc)^3}$

$\Leftrightarrow 8abc\geq 9\sqrt[3]{2^{13}3^27^2abc}\Rightarrow a^2b^2c^2\geq 3^82^47^2\Rightarrow abc\geq 2268$

 

Bài 99: 

  Cho $a,b$ là hai số thực không âm thoả mãn $a+b=2$

  Chứng minh rằng: $2\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{ab}\leq \sqrt{6}$

 

 

Vế đầu tiên:

 

Ta đi chứng minh $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{ab}\geq \sqrt{a^2+b^2+2ab}=a+b$

BĐT trên tương đương với $2\sqrt{(a^2+b^2)ab}\geq ab$ ( luôn đúng theo AM-GM và với $a,b\geq 0$)

Suy ra $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{ab}\geq 2$

 

Vế sau:

BĐT tương đương $\sqrt{4-2ab}\leq \sqrt{6}-\sqrt{ab}\Leftrightarrow 2+3ab\geq 2\sqrt{6ab}$ ( đúng theo BĐT AM-GM)

 

Bài toán được giải quyết!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 19-03-2016 - 16:34

[dogsteven]

Bài 101:Cho  a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : ab+bc+ca=1

Chứng minh rằng : $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

 

Nếu $a+b+c\geqslant 2$ thì $VT=a+b+c+\sum \dfrac{bc}{b+c}\geqslant a+b+c+\dfrac{1}{a+b+c}\geqslant \dfrac{5}{2}$

Nếu $a+b+c\leqslant 2$ thì giả sử $a\geqslant b,c$, khi đó:

$$VT=b+c+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{a(1+bc)}{a(a+b+c)+bc}\geqslant 2+\dfrac{a(1+bc)}{a(a+b+c)+bc}$$

Mà $2a(1+bc)=2a+2abc\geqslant a(a+b+c)+bc+(2a-1)bc=a(a+b+c)+bc+(a(2-a-b-c)+a^2-bc)bc\geqslant a(a+b+c)+bc$

Do đó $VT\geqslant 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$

[olympiachapcanhuocmo]

Nếu $a+b+c\geqslant 2$ thì $VT=a+b+c+\sum \dfrac{bc}{b+c}\geqslant a+b+c+\dfrac{1}{a+b+c}\geqslant \dfrac{5}{2}$

Nếu $a+b+c\leqslant 2$ thì giả sử $a\geqslant b,c$, khi đó:

$$VT=b+c+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{a(1+bc)}{a(a+b+c)+bc}\geqslant 2+\dfrac{a(1+bc)}{a(a+b+c)+bc}$$

Mà $2a(1+bc)=2a+2abc\geqslant a(a+b+c)+bc+(2a-1)bc=a(a+b+c)+bc+(a(2-a-b-c)+a^2-bc)bc\geqslant a(a+b+c)+bc$

Do đó $VT\geqslant 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$

Chỗ này là như thế nào vậy anh ?

[royal1534]

Chỗ này là như thế nào vậy anh ?

Chỗ đó là thay $ab+bc+ca=1$ vào 

[ineX]

Bài 102:

Với các số thực dương a,b,c,d 

Chứng minh rằng:

$P= \frac{a}{b^{2}+c^{2}+d^{2}}+\frac{b}{c^{2}+d^{2}+a^{2}}+\frac{c}{d^{2}+a^{2}+b^{2}}+\frac{d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{a+b+c+d}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 20-03-2016 - 17:08

[olympiachapcanhuocmo]

Bài 103 : Cho a,b,c dương , thoả mãn :a+b+c=3.

Tìm GTNN (nếu có ) của 

: $\frac{1}{\sqrt{4a^{2}+bc}}+\frac{1}{\sqrt{4b^{2}+ca}}+\frac{1}{\sqrt{4c^{2}+ab}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi olympiachapcanhuocmo: 25-03-2016 - 21:32

[cristianoronaldo]

Bài 98:Cho $a,b,c$ là các số thực dương

C/m

$\sum \frac{a^4}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c} $

Ta có:$\sum a^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-xy-yz-xz)$

Như vậy bài toán được quy về chứng minh:

$\sum (\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+ab-a^2)\geq \frac{3abc}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{3abc}{a+b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có;

$(\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2})[\sum c(a^2+ab+b^2)]\geq (\sum \sqrt{ab^3c})^2=abc(a+b+c)^2$

$\Rightarrow \sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{abc(a+b+c)^2}{\sum c(a^2+ab+b^2)}= \frac{abc(\sum a)}{\sum ab}$

Cuối cùng ta cần chứng minh:
$\frac{abc(\sum a)}{\sum ab}\geq \frac{3abc}{\sum a}\Leftrightarrow (\sum a)^2\geq 3(\sum ab)$

Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

[cristianoronaldo]

Bài 104:

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\geq 6$.Cmr:

$\frac{a^3+b^3}{c}+\frac{a^3+c^3}{b}+\frac{b^3+c^3}{a}+6(ab+bc+ca)\geq 8(a^2+b^2+c^2)$

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 104:

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\geq 6$.Cmr:

$\frac{a^3+b^3}{c}+\frac{a^3+c^3}{b}+\frac{b^3+c^3}{a}+6(ab+bc+ca)\geq 8(a^2+b^2+c^2)$

 

Xét hiệu hai vế ta được \[(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\left ( \sum \frac{a+b}{c}-6 \right ) \geqslant 0.\]

[cristianoronaldo]

Bài 102:

Với các số thực dương a,b,c,d 

Chứng minh rằng:

$P= \frac{a}{b^{2}+c^{2}+d^{2}}+\frac{b}{c^{2}+d^{2}+a^{2}}+\frac{c}{d^{2}+a^{2}+b^{2}}+\frac{d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{a+b+c+d}{4}$

Bài này đề sai thì phải. Mình thấy thay $\frac{a+b+c+d}{4}$ bởi $\frac{4}{a+b+c+d}$ thì đúng hơn

[tritanngo99]

Bài 105: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}=\frac{c^4}{1+c^4}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F=\frac{abc(a+b+c)}{ab+bc+ca}$