Chủ đề này có 3 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $ab+bc+ca=3abc$.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt{7a^2-13ab+7b^2}}+\frac{1}{\sqrt{7b^2-13bc+7c^2}}+\frac{1}{\sqrt{7c^2-13ca+7a^2}}\leqslant 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 08-05-2021 - 19:15

[Tran Thanh Truong]

Bạn thử áp dụng công thức sau xem:  $m.(a^2+b^2)+n.ab=\frac{2m+n}{4}(a+b)^2+\frac{2m-n}{4}(a-b)^2$ 

[CaptainCuong]

$7a^{2}-13ab+7b^{2}\geq 7(2ab)-13ab=ab$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{7a^{2}-13ab+7b^{2}}}\leq \frac{1}{\sqrt{ab}}$

Cmtt, ta có ...

$\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

[KietLW9]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $ab+bc+ca=3abc$.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\sqrt{7a^2-13ab+7b^2}}+\frac{1}{\sqrt{7b^2-13bc+7c^2}}+\frac{1}{\sqrt{7c^2-13ca+7a^2}}\leqslant 3$

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{7a^2-13ab+7b^2}}+\frac{1}{\sqrt{7b^2-13bc+7c^2}}+\frac{1}{\sqrt{7c^2-13ca+7a^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{27}{4}(a-b)^2+\frac{1}{4}(a+b)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{27}{4}(b-c)^2+\frac{1}{4}(b+c)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{27}{4}(c-a)^2+\frac{1}{4}(c+a)^2}}\leqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\leqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$