Chủ đề này có 238 trả lời

[Namthemaster1234]

 

Bài 43: Cho $a\neq b \neq c$.Chứng minh:

           $(\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2\geqslant 2$

$\sum (\frac{a+b}{a-b})^2 =(\sum \frac{a+b}{a-b})^2-2(\sum \frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}) \geq -2(\sum \frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)})=2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 24-01-2016 - 20:18

[haichau0401]

Bài 43: Cho $a\neq b \neq c$.Chứng minh:

           $(\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2\geqslant 2$

Đổi $\left ( \frac{a+b}{a-b},\frac{b+c}{b-c},\frac{c+a}{c-a} \right )$ thành $(x,y,z)$

Do đó ta có:

$(x-1)(y-1)(z-1)=(x+1)(y+1)(z+1)$

Khai triển ra ta được $xy+yz+zx=-1$

Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2(xy+yz+zx)$ Suy ra $dpcm$

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 43: Cho $a\neq b \neq c$.Chứng minh:

           $$(\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2\geqslant 2$$

 

Bài toán là hệ quả đẳng thức khá đẹp mắt sau \[\sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^2 - 2 = \frac{[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc]^2}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}.\]

 

Bài 34: Cho a,b là các số thực thỏa mãn $a+b\neq 0$ 

CMR: $a^2+b^2+(\frac{1+ab}{a+b})^2\geq 2$

 

Tương tự \[a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2 - 2 = \frac{(a^2+ab+b^2-1)^2}{(a+b)^2}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 24-01-2016 - 11:38

[Gachdptrai12]

 

 

 

 

Cả 2 bài trên chỉ vận dụng 2 cái cơ bản:

 

$\sum (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})\geq 4\sum \frac{a}{b+c}$        (Schwarz)               (33)

và:

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$           (Nesbit)              (32,33)

 

------------------------------------

 

Tiếp theo: 

 

Bài 36:  $x,y>0; x+y=2$

Tìm MIN:    $A=\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}$

 

Bài 37:$x,y,z>0$

CM:  $\sqrt{\frac{2x}{x+y}}+\sqrt{\frac{2y}{y+z}}+\sqrt{\frac{2z}{z+x}}\leq 3$

 

Bài 38: $a,b,c>0; abc=1$

CM:  $\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(c+1)(c+2)}\geq \frac{1}{2}$

 

Bài 39: $a,b,c>0$

CM:   $\frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}+\frac{b^{3}}{b^{3}+abc+c^{3}}+\frac{c^{3}}{c^{3}+abc+a^{3}}\geq 1$

 

-----------------------------------

 

Tiếp mục bất đẳng thức ta sẽ tìm hiểu tiếp về phương pháp đổi biến:

 

Ta sẽ xét Bài 29 làm ví dụ:

 

$\sum \frac{1}{x^{2}+x+1}\geq 1$, nhìn lời giải thì có vẻ vô cùng đơn giản nhưng thực ra để mà nghĩ ra được cách ĐỔI BIẾN như vậy là một việc không hề dễ.

 

Theo như kinh nghiệm của mình và tham khảo thì ĐỔI BIẾN khi đối với Cauchy-Schwarz thì chỉ nên áp dụng khi bậc của biến tử lớn hơn biến mấu VÀ khi gặp một bài toán cho tích các biến bằng 1 (thường là bài 3 biến) thì việc đầu tiên nghĩ đến là đặt hay đổi biến.

 

Một số cách đổi biến thông dụng:

 

1. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})$

 

2. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$

 

3. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{b}{a};\frac{c}{b};\frac{a}{c})$

 

4. $(a,b,c)\rightarrow (ab;bc;ca);(a^{2};b^{2};c^{2})$

 

5. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{bc}{a^{2}};\frac{ca}{b^{2}};\frac{ab}{c^{2}})$

 

6. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{a^{2}}{bc};\frac{b^{2}}{ca};\frac{c^{2}}{ab})$

 

7. $(a,b,c)\rightarrow (\frac{1}{a^{2}};\frac{1}{b^{2}};\frac{1}{c^{2}})$

 

.......... và còn rất nhiều cách phụ thuộc vào dạng bài và sự sáng tạo của bạn nữa ~!

 

----------------------------------------

 

Bài 40: (một bài ví dụ, nhưng hơi khó hơn do 4 biến)

 

$x,y,z,t>0;xyzt=1$

CM:  $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}\geq 1$

 

 

 

 

37 nhé vô bài 

bài này đổi biến (x,y,z)->($\sqrt{\frac{b}{a}},\sqrt{\frac{c}{b}},\sqrt{\frac{a}{c}}$) bđt trở thành 

$\sum \sqrt{\frac{2}{1+x^{2}}}\geq 3$ ta có 1 bđt quen thuộc sau giả sử xy>=1 thì z<=1 =>$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}$

áp dụng bđt C-S ta có $(\sqrt{\frac{2}{1+x^{2}}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^{2}}})^{2}\led 2(\frac{2}{1+x^{2}}+\frac{2}{1+y^{2}})=4(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}})\geq 4(\frac{2}{1+xy})=\frac{8z}{1+z}$=>$\sqrt{\frac{2}{x^{2}+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^{2}+1}}\leq 2\sqrt{\frac{2}{1+xy}}$ và $\sqrt{\frac{2}{z^{2}+1}}\leq \frac{2}{z+1}$ từ đó thay vào bđt ban đầu và chứng minh tương đương ra bé hơn 3 p/s đà nẵng lạnh quá tê tay gõ phím chẳng dc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 24-01-2016 - 12:23

[I Love MC]

Bài 36: (bài này dễ thôi, tinh mắt là làm được dễ dàng)

 

 

$\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}=\frac{\frac{x^{2}}{y}+3y}{-(xy-1)^{2}+1}\geq \frac{x^{2}}{y}+3y=\frac{(2-y)^{2}}{y}+3y=4y+\frac{4}{y}-4\geq 4$

  (AM-GM) 
Một cách giải khác của bài này : 
 Áp dụng bất đẳng thức Cosi : 
$ A = \frac{x^2+3y^2}{xy^2(2-xy)} \ge \frac{2y^2+2xy}{xy^2(2-xy)}=\frac{4}{xy(2-xy)} \ge \frac \frac{4}{1}=4$ . Xảy ra khi $x=y=1$ 
Câu này là câu Quốc Học Huế 2012-2013

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 24-01-2016 - 16:08

[I Love MC]

Nhân tiện nói về bài $30$ . Nó có vẻ giống bài sau đây 
Bài 41 : Hy Lạp 2002. Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh 
$\sum \frac{a}{4b^2+1} \ge (\sum \sqrt{a^3})^2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz 
$\sum \frac{a}{4b^2+1} \ge \frac{(\sum \sqrt{a^3})^2}{4.(\sum a^2.b^2)+\sum a^2}$ 
Cần chứng minh $4.(\sum a^2.b^2)+\sum a^2 \le (a+b+c)^2$ 
  $\Leftrightarrow \sum ab(1-4ab) \ge 0$ (đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 24-01-2016 - 16:12

[I Love MC]

Bài 45 : 
Chứng minh với $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$ . Chứng tỏ 
$ \sum \frac{a^3b}{1+ab^2} \ge \frac{abc(a+b+c}{1+abc}$ 
 

[Gachdptrai12]

Bài 45 : 
Chứng minh với $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$ . Chứng tỏ 
$ \sum \frac{a^3b}{1+ab^2} \ge \frac{abc(a+b+c}{1+abc}$ 

bài này cũng trí đó )) @@@

$VT\Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}b^{2}c^{2}}{c+ab^{2}c}$(vì abc=1)

áp dụng bđt C-S=>$\sum \frac{a^{4}b^{2}c^{2}}{c+ab^{2}c}\geq \frac{a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{a+b+c+abc(a+b+c)}=\frac{a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)}{2}=VP$(vì abc=1)=> ddpcm p/s lạnh run người lun             

[royal1534]

Bài 45 : 
Chứng minh với $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$ . Chứng tỏ 
$ \sum \frac{a^3b}{1+ab^2} \ge \frac{abc(a+b+c}{1+abc}$ 
 

Eđit cái đề hộ ,$abc=1$ mà cho $abc(a+b+c)$ với $1+abc$ làm gì ?

Đề phải là cho $a,b,c>0$ thôi:

Lời giải:

Sử dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:

$$ \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}.\sum \frac{1+ab^{2}}{ab} \geq (a+b+c)^{2}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}.(\sum \frac{1}{ab}+\sum a) \geq (a+b+c)^{2}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}.(\frac{a+b+c}{abc}+a+b+c) \geq (a+b+c)^{2}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}.[\frac{(a+b+c)(abc+1)}{abc}] \geq (a+b+c)^{2}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}. \geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc} (Q.E.D)$$ 

Vậy ta có đpcm,Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[Gachdptrai12]

bài 46 cho a,b,c là các số thực dương cm $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}$

[Math Master]

Bài 47 Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh

$\sum \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} > 2$

[tpdtthltvp]

Bài 47 Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh

$\sum \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} > 2$

Tương tự bài ở đây!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 26-01-2016 - 07:44

[I Love MC]

bài 46 cho a,b,c là các số thực dương cm $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}$

BĐT chứng minh tương đương với 
$(\sum ab).a^2b^2c^2 \le \sum a^8$ 
Ta có $\sum a^8 \ge \sum a^4b^4 \ge \sum a^2b^2c^2(\sum a^2) \ge a^2b^2c^2(\sum ab)$ 

[I Love MC]

Eđit cái đề hộ ,$abc=1$ mà cho $abc(a+b+c)$ với $1+abc$ làm gì ?

Đề phải là cho $a,b,c>0$ thôi:

Lời giải:

Sử dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:

$$ \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}.\sum \frac{1+ab^{2}}{ab} \geq (a+b+c)^{2}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}.(\sum \frac{1}{ab}+\sum a) \geq (a+b+c)^{2}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}.(\frac{a+b+c}{abc}+a+b+c) \geq (a+b+c)^{2}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}.[\frac{(a+b+c)(abc+1)}{abc}] \geq (a+b+c)^{2}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}. \geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc} (Q.E.D)$$ 

Vậy ta có đpcm,Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Sẽ có một bài toán tổng quát . (Đánh lạc hướng thí sinh ) 

[I Love MC]

Tương tự bài ở đây!

Nói rõ ? 

[Minhnguyenthe333]

Bài 47: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.Chứng minh rằng:

                          $(1-\frac{1}{1+x^2})(1-\frac{1}{1+y^2})(1-\frac{1}{1+z^2})>\frac{1}{2}$

[Gachdptrai12]

Tương tự bài ở đây!

chẳng có j lq đến bđt cần cm

[PlanBbyFESN]

 

 Đề nghị mọi người tập trụng xử lí các bài này:

 

 

Bài 14: Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{\sqrt{2}.(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$

 

Bài 15: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq (a^2+b^2+c^2).(4-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2})$

 

Bài 16: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2\leq 2010$

Tìm min của biểu thức $A=xy+y.(z-1)+z.(x-2)$

 

Bài 17: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z+2=xyz$

CMR: a, $2.(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\leq x+y+z+6$

          b, $xy+yz+zx\geq \frac{3}{4}$

 

Bài 18: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx+2xyz=1$

a,$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{3}{2}.\sqrt{xyz}$

b,$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 4.(x+y+z)$

  

Bài 38: $a,b,c>0; abc=1$

CM:  $\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(c+1)(c+2)}\geq \frac{1}{2}$

 

Bài 39: $a,b,c>0$; abc=1

CM:   $\frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}+\frac{b^{3}}{b^{3}+abc+c^{3}}+\frac{c^{3}}{c^{3}+abc+a^{3}}\geq 1$

 

Bài 40: (một bài ví dụ, nhưng hơi khó hơn do 4 biến)

 

$x,y,z,t>0;xyzt=1$

CM:  $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}\geq 1$

 

 

Bài 47: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.Chứng minh rằng:

                          $(1-\frac{1}{1+x^2})(1-\frac{1}{1+y^2})(1-\frac{1}{1+z^2})>\frac{1}{2}$

 

P/S: Tôi cảm thấy topic đang có chút gì đó hơi rối và lạc hướng, đề nghị mỗi người khi nhấn nút gửi bài xem lại cách mà mình đăng có gì đó tôn trọng người đọc (đối với một số người), ý của tôi là trình bày không cần kĩ nhưng phải rõ, hạn chế dùng kí hiệu, bài đăng cần phù hợp và toán MẪU MỰC, và khi bài viết mục đích thảo luận thì làm ơn phải chú ý cách viết, cái gì không cần thiết thì bỏ được thì bỏ. Xin hết!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 31-01-2016 - 15:49

[PlanBbyFESN]

Bài 38: $a,b,c>0; abc=1$

CM:  $\frac{1}{(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(c+1)(c+2)}\geq \frac{1}{2}$

 

Bài 39: $a,b,c>0$; abc=1

CM:   $\frac{a^{3}}{a^{3}+abc+b^{3}}+\frac{b^{3}}{b^{3}+abc+c^{3}}+\frac{c^{3}}{c^{3}+abc+a^{3}}\geq 1$

 

Bài 40: (một bài ví dụ, nhưng hơi khó hơn do 4 biến)

 

$x,y,z,t>0;xyzt=1$

CM:  $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}+\frac{1}{(z+1)^{2}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}\geq 1$

 

Bài 40:

 

Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{d}{c};t=\frac{a}{d}$

 

Ta đưa về CM:

$\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{(c+d)^{2}}+\frac{d^{2}}{(d+a)^{2}}\geq 1$

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz kết hợp AM-GM:

 

$VT\geq \frac{(a(a+d)+b(b+a)+c(c+b)+d(d+c))^{2}}{\sum (a+b)^{2}(a+d)^{2}}\geq 1$

 

$\Rightarrow$ ĐPCM

 

Bài 39: Một bài khá đơn giản:

 

$(a,b,c)\rightarrow (\frac{b}{a};\frac{c}{b};\frac{a}{c})$

 

Ta sẽ có  $VT=\sum \frac{b^{6}}{b^{6}+a^{3}b^{3}+a^{3}c^{3}}\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}{\sum b^{6}+a^{3}b^{3}+a^{3}c^{3}}=1$       (C-S)

 

$\Rightarrow$ ĐPCM

 

Bài 38:

 

$(a;b;c)\rightarrow (\frac{yz}{x^{2}};\frac{zx}{y^{2}};\frac{xy}{z^{2}})$

 

$\Rightarrow VT=\sum \frac{x^{4}}{(2x^{2}+yz)(x^{2}+yz)}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum (2x^{2}+yz)(x^{2}+yz)}$               (C-S)

 

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq \sum (2x^{2}+yz)(x^{2}+yz)\Leftrightarrow \sum x^{2}y^{2}\geq xyz(x+y+z)$

 

Đúng theo AM-GM $\Rightarrow$  ĐPCM.

 

----------------------------------------------

 

Nhìn quá tĩnh lặng, mong mọi người tích cực đăng bài, đóng góp thêm các bài về BĐT! 

 

Sau đây là một số bài BĐT tiếp theo (sẽ nhẹ độ hơn các bài trên). (Còn những bài khó trên sẽ đăng lời giải sau, tham khảo là chính.)
 

Bài 48:  $x,y>0$ ; $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$

CM: $x^{3}+y^{3}\leq 2$

 

Bài 49: $a,b,c>0;a+b+c=3$

CM:  $\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ca}+\frac{c}{c+2ab}\geq 1$

 

Bài 50: $a,b,c>0; ab+bc+ca=1$

CM:  $(a^{2}+2b^{2}+3)(b^{2}+2c^{2}+3)(c^{2}+2a^{2}+3)\geq 64$

 

Bài 51: $a,b,c>0;a+b+c=3$

CM: $\frac{a^{2}+bc}{b+ca}+\frac{b^{2}+ca}{c+ab}+\frac{c^{2}+ab}{a+bc}\geq 3$

 

P/S: Xin hết!

P/S lần nữa:  Mong mọi người hoạt động sôi nổi, ủng hộ topic! 

[NTA1907]

Bài 51: $a,b,c>0;a+b+c=3$

CM: $\frac{a^{2}+bc}{b+ca}+\frac{b^{2}+ca}{c+ab}+\frac{c^{2}+ab}{a+bc}\geq 3$

Ta có: 

$\frac{a^{2}+bc}{3b+3ca}=\frac{a^{2}+bc}{b(a+b+c)+ca+2ca}\geq \frac{a^{2}+bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}$ 

Tương tự cộng lại ta được: 

$\sum \frac{a^{2}+bc}{3b+3ca}\geq \sum \frac{a^{2}+bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}=1$ 

$\Rightarrow$ đpcm 

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$