Cho $x,y>0$ thỏa $x^2+y^3 \ge x^3+y^4$. Chứng tỏ $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le x+y \le 2$
Mở rộng bài toán : Cho $x,y >0$ thỏa $x^{n-1}+y^n \ge x^n+y^{n+1}$. Chứng minh $2 \ge x+y \ge x^{i}+y^{i}$ trong đó $i,n \in N^{*}$
$x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le x+y \le 2$
Bắt đầu bởi I Love MC, 22-01-2016 - 19:07
#1
Đã gửi 22-01-2016 - 19:07
- Liquid Hiko, Liquid và tainguyen1402 thích
#2
Đã gửi 22-01-2016 - 21:09
$x^3+y^3=\sqrt{x^3}.\sqrt{x^3}+y^2.y\leq \sqrt{x^3+y^4}+\sqrt{x^3+y^2}$ (theo CBS)
suy ra $x^3+y^3\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^3+y^2}\leq \frac{1}{2}(x^3+y^3+x^2+y^2)$
suy ra $x^3+y^3\leq y^2+x^2$ (q.e.d)
#3
Đã gửi 22-01-2016 - 21:18
$x^2+y^2=\sqrt{x^3}.\sqrt{x}+\sqrt{y^3}.\sqrt{y}\leq \sqrt{x^3+y^3}+\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x+y}\leq \frac{1}{2}(x^2+y^2+x+y)$
suy ra $x^2+y^2\leq x+y$
$x^3+y^4-x^2-y^3=x^2(x-1)+y^3(y-1)\leq 0$
suy ra $x\leq 1,y\leq 1$ suy ra $x+y\leq 2$
- I Love MC, thichmontoan và Nee Kim thích
#4
Đã gửi 22-01-2016 - 21:24
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh