Chủ đề này có 2 trả lời

[luukhaiuy]

cho a,b,c>0 va a+b+c=1 chung minh $\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ac}\geq \frac{3}{4}$

[Lin Kon]

$c+ab=c(a+b+c)+ab=(c+a)(c+b)$
Dùng AM-GM phân số đầu cộng thêm với (c+a)/8a + (c+b)/8b
Tương tự vậy với hai phân số kia là ra
( latex đơ )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lin Kon: 24-01-2016 - 19:38

[davidsilva98]

Cho a,b,c>0 va a+b+c=1 chung minh $\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ac}\geq \frac{3}{4}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $$\sum \frac{ab}{c+ab}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c(a+b+c)+ab}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{(c+a)(c+b)}\geq \frac{3}{4}$$

$$\Leftrightarrow 4\sum ab(a+b)\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow 4\sum ab(a+b)\geq 3\left ( \sum ab(a+b) +2abc\right )$$

$$\Leftrightarrow \sum ab(a+b)\geq 6abc\Leftrightarrow \sum a(b-c)^{2}\geq 0$$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.