Chủ đề này có 1 trả lời

[hthang0030]

cho a,b,c>0 a+b+c=1
CMR:$\frac{2}{9}\leq a^3+b^3+c^3+3abc<\frac{1}{4}$

[superpower]

cho a,b,c>0 a+b+c=1
CMR:$\frac{2}{9}\leq a^3+b^3+c^3+3abc<\frac{1}{4}$

Đổi biến pqr

Đặt $a+b+c=p , ab+bc+ca=q ,abc=r $ 

Ta có $p=1$

$a^3+b^3+c^3+3abc = p^3-3pq+3r+3r = p^3-3pq +6r $

Ta cần chứng minh 

$ \frac{2}{9} \leq 1-3q+6r \leq \frac{1}{4}$

Ta chứng minh vế phải

VP $<=> r \geq \frac{3q - \frac{7}{9} }{6} $

Mặt khác theo bđt Schur bậc 3, ta có

$p^3-4pq +9r \geq 0 <=> 1-4q+9r \geq 0 <=> r \geq \frac{4q-1}{9} $

Ta cần chứng minh 

$\frac{4q-1}{9} \geq \frac{3q-\frac{7}{9}}{6} <=> 24q -6 \geq 27q-7 <=> q \leq \frac{1}{3}$ (đúng theo AM-GM)

 

Còn VP là 1 bđt sai

Cho $a=0,9 ; b=c=0,05$ là vô lý