Chủ đề này có 5 trả lời

[Thao Meo]

Cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=x^2+y^2+z^2$ . chứng minh

$((x-y)(y-z)(z-x))^2\leq 2\left \{ (x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2 \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thao Meo: 27-01-2016 - 17:10

[Nguyenhuyen_AG]

Cho x,y,z>0 thỏa mãn $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=x^2+y^2+z^2$ . chứng minh

$((x-y)(y-z)(z-x))^2\leq 2\left \{ (x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2 \right \}$

 

Ta viết bất đẳng thức trên lại như sau

\[2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \sum (x^2-y^2)^2 \geqslant (x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2(x^2+y^2+z^2).\]

Giả sử $x \geqslant y \geqslant z$ khi đó $0 \leqslant x-z \leqslant x$ và $ \leqslant 0 \leqslant y-z \leqslant y$ do đó

\[(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2(x^2+y^2+z^2) \leqslant x^2y^2(x-y)^2(x^2+y^2+z^2).\]

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

\[\begin{aligned}(x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2 & \geqslant (x^2-y^2)^2+\frac{1}{2}(x^2-y^2)^2 \\& =\frac{3}{2}(x-y)^2(x+y)^2 \\& \geqslant \frac{3}{2}(x-y)^2 \cdot x^2,\end{aligned}\]

và $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geqslant x^2y^2.$ Cho nên

\[2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)[(x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2] \geqslant 3x^4y^2(x-y)^2.\]

Như vậy ta chỉ cần chứng minh

\[3x^4y^2(x-y)^2 \geqslant x^2y^2(x-y)^2(x^2+y^2+z^2),\]

tương đương với

\[x^2y^2(x-y)^2(2x^2-y^2-z^2) \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng do $x \geqslant y \geqslant z$ nên ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 27-01-2016 - 21:41

[quoccuonglqd]

Đây là bất đẳng thức hoán vị,sao có thể sắp biến được anh Huyện

Với lại em thấy x,y,z>0 nhưng đánh giá $x-z\leqslant x$ lại cho cực trị tại $z=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 28-01-2016 - 09:22

[Nguyenhuyen_AG]

Em xem kỹ lại nhé đây là bất đẳng thức đối xứng mà.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 28-01-2016 - 16:38

[quoccuonglqd]

à em nhầm nhưng về điều kiện đẳng thức ạ

[Nguyenhuyen_AG]

à em nhầm nhưng về điều kiện đẳng thức ạ

 

Em hỏi đoạn $0 \leqslant x-z \leqslant x$ à?