CMR $\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$
Với $x,y$ là các số dương
$\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$
Bắt đầu bởi CaoHoangAnh, 31-01-2016 - 21:42
#2
Đã gửi 01-02-2016 - 06:09
royal1534
-
- Điều hành viên THCS
-
- 773 Bài viết
Trung úy
CMR $\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$
Với $x,y$ là các số dương
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có:
$(1+xy)(1+\frac{x}{y}) \geq (1+x)^{2}$
$\rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}} \geq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{x}{y})}$
Tương tự:$\frac{1}{(1+y)^{2}} \geq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{y}{x})}$
Cộng 2 vế lại ta có:
$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^2} \geq \frac{1}{1+xy}(\frac{1}{1+\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{y}{x}})=\frac{1}{1+xy}$
Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
- tpdtthltvp, le truong son, chaubee2001 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 16-04-2021 - 18:44
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant \frac{2x^2y^2-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}=\frac{(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$
Ta có điều phải chứng minh.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
