Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
CaoHoangAnh

CaoHoangAnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết

CMR $\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$

Với $x,y$ là các số dương



#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

CMR $\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$

Với $x,y$ là các số dương

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có:

$(1+xy)(1+\frac{x}{y}) \geq (1+x)^{2}$

$\rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}} \geq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{x}{y})}$

Tương tự:$\frac{1}{(1+y)^{2}} \geq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{y}{x})}$

Cộng 2 vế lại ta có:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^2} \geq \frac{1}{1+xy}(\frac{1}{1+\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{y}{x}})=\frac{1}{1+xy}$

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant \frac{2x^2y^2-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}=\frac{(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$

Ta có điều phải chứng minh.


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh