Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 01-02-2016 - 17:16
$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$
Bắt đầu bởi marcoreus101, 31-01-2016 - 22:11
#2
Đã gửi 31-01-2016 - 22:32
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$
Ta có:
$\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{b+c}}$
Mà $\sum \sqrt{a}.\sqrt{ab+ac}\leq \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}\leq \sqrt{2(a+b+c).\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=(a+b+c)\sqrt{\frac{2}{3}(a+b+c)}$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)\sqrt{\frac{2}{3}(a+b+c)}}=\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
- tpdtthltvp, CaptainCuong, haichau0401 và 2 người khác yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 31-01-2016 - 22:51
quoccuonglqd
-
- Thành viên
-
- 219 Bài viết
Thượng sĩ
Chuẩn hóa $a+b+c=1$
Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$
Áp dụng Chebuchev
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)}+\sqrt{(b+c)}+\sqrt{(c+a)}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{\frac{2(a+b+c)}{3}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{3(a+b+c)}{2}}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
