Chủ đề này có 1 trả lời

[thang1308]

cho a,b,c > o thỏa mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq 16(a+b+c)$

Chứng minh rằng $\sum \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^{3}} \leq \frac{8}{9}$

[quoccuonglqd]

Biến đổi điều kiện $16(ab+bc+ca)\geqslant 3$

Áp dụng AM-GM $a+b+\sqrt{2(a+c)}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}}\Rightarrow \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^{3}}\leqslant \frac{2}{27(a+b)(a+c)}$

Ta cần chứng minh $\sum \frac{2}{27(a+b)(a+c)}\leqslant \frac{8}{9}$

Mà $\sum \frac{2}{27(a+b)(a+c)}=\frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{1}{6(ab+bc+ca)}\leqslant \frac{8}{9}$