Chủ đề này có 2 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh $(1+\frac{b+c}{a})(1+\frac{b+a}{c})(1+\frac{a+c}{b})\geq a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}+3(1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})$

P/s:Bài này mình đăng trong Box này mà chưa bạn nào giải nên đăng lại cho nó đỡ mốc =))Mong có nhiều lời giải hay của các bạn 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 03-02-2016 - 11:35

[Namthemaster1234]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh $(1+\frac{b+c}{a})(1+\frac{b+a}{c})(1+\frac{a+c}{b})\geq a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}+3(1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})$

P/s:Bài này mình đăng trong Box này mà chưa bạn nào giải nên đăng lại cho nó đỡ mốc =))Mong có nhiều lời giải hay của các bạn 

 

Thực ra bất đẳng thức này tương đương với:

 

$\sum a^3 \geq abc(\sum a\sqrt{a})$

 

Thật vậy ta có:

 

$\sum a^3 \geq \frac{(\sum a\sqrt{a})^2}{3}$

 

Ta chỉ cần chứng minh

 

$\sum a\sqrt{a} \geq 3abc$

 

Hiển nhiên đúng theo AMGM:  $\sum a\sqrt{a} \geq 3\sqrt{abc}=3abc$ ( Do $ abc=1$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 03-02-2016 - 15:31

[quoccuonglqd]

Ta có thể đổi biến $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})\rightarrow (\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

Bất đẳng thức trở thành $x^{12}y^{6}+y^{12}z^{6}+z^{12}x^{6}\geqslant x^{9}y^{3}z^{6}+x^{6}y^{9}z^{3}+x^{3}y^{6}z^{9}$