Chủ đề này có 8 trả lời

[Namichan]

Mình xin gửi một bài, bài này mình lấy từ quyển sách của mình, mong các bạn giúp sức :

Cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn ab là một số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^{a}+x^{b}+ 1$ không chia hết cho đa thức $x^{2}+x+1$.

[I Love MC]

Ta có bổ đề sau : Với $m,n \in \mathbb{N}$ thì $x^{3m+2}+x^{3n+1}+1$ chia hết cho $x^2+x+1$ 
Vì một số chính phương chia $3$ dư $0,1$ nhưng ở đây nó lại chia $3$ dư $2$ 
$\Rightarrow Q.E.D$

[PhanLocSon]

Ta có bổ đề sau : Với $m,n \in \mathbb{N}$ thì $x^{3m+2}+x^{3n+1}+1$ chia hết cho $x^2+x+1$ 
Vì một số chính phương chia $3$ dư $0,1$ nhưng ở đây nó lại chia $3$ dư $2$ 
$\Rightarrow Q.E.D$

Nó chia 3 dư 2 không có nghĩa là bất khả quy
 

[I Love MC]

Nó chia 3 dư 2 không có nghĩa là bất khả quy
 

Đọc kĩ lại đề 

[thaibuithd2001]

Ta có bổ đề sau : Với $m,n \in \mathbb{N}$ thì $x^{3m+2}+x^{3n+1}+1$ chia hết cho $x^2+x+1$ 
Vì một số chính phương chia $3$ dư $0,1$ nhưng ở đây nó lại chia $3$ dư $2$ 
$\Rightarrow Q.E.D$

ông coi chứng minh đc 2 bổ đề này không

Bổ đề 1: $(x^{3k+1}-1) \not\vdots (x^2+x+1)$

Bổ đề 2: $(x^{3k+2}-1) \not\vdots (x^2+x+1)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 12-02-2016 - 19:13

[I Love MC]

ông coi chứng minh đc 2 bổ đề này không

Bổ đề 1: $(x^{3k+1}-1) \not\vdots (x^2+x+1)$

Bổ đề 2: $(x^{3k+2}-1) \not\vdots (x^2+x+1)$ 

No chưa đúng với mọi $x$ vì $x=1$ thì ... 
$x=0$ thì ...

[thaibuithd2001]

Vẫn chưa đc hoàn thiện lắm , trước hết ta phát biểu 2 bổ đề sau với $k \epsilon N$

Bổ đề 1: $(x^{3k+1}-1)$ $\not\vdot$ $(x^2+x+1)$

Bổ đề 2: $(x^{3k+2}-1)$ $\not\vdot$ $(x^2+x+1)$

2 bổ đề này có thể chứng minh bằng quy nạp

Quay lại bài toán:

$ab$ là 1 $SCP$ nên ta chia làm 5 TH sau

TH₁: $a=3a'+2$ và $b=3b'+2$ 

 $x^a+x^b+1=x^2(x^{3a'}-1)+x(x^{3b'+1}-1)+(x^2+x+1)$ $\not\vdots$ $(x^2+x+1)$ (2 số hạng chia hết 1 số hạng không chia hết)

TH₂: $a=3a'+1$ và $b=3b'+1$ 

 $x^a+x^b+1=x^2(x^{3(a'-1)+2})+x(x^{3b'}-1)+(x^2+x+1)$ $\not\vdots$ $(x^2+x+1)$ (như trên)

TH₃: $a=3a'$ và $b=3b'$ 

trường hợp này mình còn kẹt vì chưa chứng minh đc $x^2(x^{3(a-1)+1}-1)+x(x^{3(b-1)+2}+1)$ $\not\vdots$ $(x^2+x+1)$ mấy bạn xem có chứng minh đc không

TH₄: $a=3a'$ và $b=3b'+1$

$x^a+x^b+1=x^2(x^{3(a'-1)+1}-1)+x(x^{3b'}-1)+(x^2+x+1)$ $\not\vdots$ $(x^2+x+1)$ 

TH₅: $a=3a'$ và $b=3b'+2$ 

$x^a+x^b+1=x^2(x^{3b'}-1)+x(x^{3(a'-1)+2}-1)+(x^2+x+1)$ $\not\vdots$ $(x^2+x+1)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 12-02-2016 - 20:06

[dogsteven]

No chưa đúng với mọi $x$ vì $x=1$ thì ... 
$x=0$ thì ...

Chú có hiểu chia hết trong đa thức là gì không thế.

[Ego]

Mình xin gửi một bài, bài này mình lấy từ quyển sách của mình, mong các bạn giúp sức :

Cho các số nguyên dương a,b thỏa mãn ab là một số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^{a}+x^{b}+ 1$ không chia hết cho đa thức $x^{2}+x+1$.

Bài này giống một bài năm lớp 8 mình gặp, lúc đó nghĩ bài này chắc khó nhất lớp 8 rồi  , nhưng cũng quên mất rồi. Năm lớp 10 vô tình đọc lại rồi tìm được lời giải sau, bạn cho ý kiến. Bài gốc là tìm điều kiện $a, b$ để đa thức này chia hết cho đa thức kia :-?

Quay lại bài toán của bạn, ta sẽ chứng minh nếu đa thức $x^{a} + x^{b} + 1$ chia hết cho $x^{2} + x + 1$ khi và chỉ khi $ab$ không là số chính phương.
Ta sẽ phát biểu không chứng minh các bổ đề sau:
Bổ đề 1. Mọi số chính phương không có dạng $3k + 2$.
Bổ đề 2. Với $m, n$ nguyên dương thì $x^{m} + x^{n} + 1 = (x^{2} + x + 1).Q(x)$ khi và chỉ khi $(0, m, n)$ lập thành một hệ thặng dư đầy đủ modulo $3$.
Xét phương trình $x^{3} = 1$ có 3 nghiệm là $(1, \omega, \omega^{2})$ với $\omega$ là nghiệm khác $1$ của pt trên.

Vậy đa thức $x^{a} + x^{b} + 1$ chia hết cho đa thức $x^{2} + x + 1$ khi và chỉ khi một trong hai số $a, b$ đồng dư $1$ modulo $3$, số còn lại đồng dư $2$ modulo $3$. Nghĩa là $ab$ sẽ đồng dư $2$ modulo $3$. Nghĩa là $ab$ không thể nào là số chính phương. Ngược lại, nếu $ab$ là số chính phương thì nó không có dạng $3k + 2$, cho nên đa thức $x^{a} + x^{b} + 1$ không chia hết cho đa thức $x^{2} + x + 1$. (Để ý từ khi và chỉ khi :-))

P.S. Cách của mình có thể giải rất gọn bài gốc :-) Hình như trong sách thầy Võ Đại Mau có mấy cái này, mà chứng minh phức tạp lắm.