Chủ đề này có 2 trả lời

[Lin Kon]

1. Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. CM:

$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

2. Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. CM:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{1}{ab+bc+ca+1}\geq 1$

3. Cho $a,b,c$ dương chứng minh:

$\sum (a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)\geq 3$

 

[royal1534]

1. Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. CM:

$a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

 

Áp dụng bđt Schur ta có: $a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ca)$

Ta quy bài toán về chứng minh: $a+b+c \geq \frac{9abc}{a+b+c}$         

                                $\leftrightarrow (a+b+c)^2 \geq 9abc=9$ (Đúng theo AM-GM)

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 15-02-2016 - 19:19

[phamngochung9a]

2. Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. CM:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{1}{ab+bc+ca+1}\geq 1$

Theo nguyên lí Đi- dép- lê, giả sử:

$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow c(a+b)\leq c+1$

Ta có:

$VT\geq \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{1}{ab+c+2}\\=\frac{c}{c+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{c}{(c+1)^{2}}=1$