Chủ đề này có 4 trả lời

[dreamcatcher170201]

Cho $x;y$ là các số nguyên $(x;y\neq -1)$ sao cho $\frac{x^{4}-1}{y+1}+\frac{y^{4}-1}{x+1}$ nguyên.Chứng minh rằng: $x^{4}y^{44}-1\vdots x+1$
CÁC BẠN HÃY GIẢI CHI TIẾT GIÚP MÌNH NHÉ            

[anhquannbk]

Cho $x;y$ là các số nguyên $(x;y\neq -1)$ sao cho $\frac{x^{4}-1}{y+1}+\frac{y^{4}-1}{x+1}$ nguyên.Chứng minh rằng: $x^{4}y^{44}-1\vdots x+1$
CÁC BẠN HÃY GIẢI CHI TIẾT GIÚP MÌNH NHÉ            

Đặt $ a=\frac{x^{4}-1}{y+1}, b=\frac{y^{4}-1}{x+1} $

Dễ thấy $ ab $ là số nguyên, mà $ a+b $ cũng nguyên suy ra $ a, b $ đều nguyên

suy ra $ y^{4}-1\vdots x+1 $ suy ra $ x^{4}y^{44}-1=x^{4}(y^{44}-1)+x^{4}-1 $

Mà $ y^{44}-1 \vdots y^{4}-1 \vdots x+1 $ và $ x^{4}-1\vdots x+1 $

suy ra đpcm

[superpower]

Đặt $ a=\frac{x^{4}-1}{y+1}, b=\frac{y^{4}-1}{x+1} $

Dễ thấy $ ab $ là số nguyên, mà $ a+b $ cũng nguyên suy ra $ a, b $ đều nguyên

suy ra $ y^{4}-1\vdots x+1 $ suy ra $ x^{4}y^{44}-1=x^{4}(y^{44}-1)+x^{4}-1 $

Mà $ y^{44}-1 \vdots y^{4}-1 \vdots x+1 $ và $ x^{4}-1\vdots x+1 $

suy ra đpcm

 

Lập luận của bạn sai rồi

$a=3-\sqrt{2} ; b=3+\sqrt{2}$

Ta có $a+b=6 ; ab=7 $

[anhquannbk]

Lập luận của bạn sai rồi

$a=3-\sqrt{2} ; b=3+\sqrt{2}$

Ta có $a+b=6 ; ab=7 $

đề cho x và y nguyên nên a, b là các số hữu tỉ mà bạn

Tổng và tích của hai số hữu tỉ nguyên thì 2 số đó đều nguyên 

[I Love MC]

Đây là một bài trong VMO 2007 . Bạn có thể tham khảo  tài liệu khác . 
Để chứng minh bổ đề : Cho $a,b \in \mathbb{Q}$ sao cho
$ab \in \mathbb{Z},a+b \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a,b \in \mathbb{Z}$ 
Ta chứng minh như sau :  
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{z}{t}$ trong đó $x,y,z,t \in \mathbb{Z}$ và $gcd(x,y)=1,gcd(z,t)=1$ 
Theo giả thiết thì $ab=\frac{xz}{yt}$ thì suy ra $y|z,t|x$ do $gcd(x,y)=1,gcd(z,t)=1$ (1)
Xét $a+b=\frac{xt+yz}{yt} \in \mathbb{Z}$ 
Suy ra $(xt+yz) \vdots y$ suy ra $xt \vdots y$ mà $gcd(x,y)=1$ suy ra $t \vdots y$ (2) 
Từ một và hai suy ra $x \vdots t \vdots y$ mà $gcd(x,y)=1$ nên $y=1$ hay ta có $a \in \mathbb{Z}$ 
C/m tương tự với $b$ 
Mở rộng 

 

Cho $x;y$ là các số nguyên $(x;y\neq -1)$ sao cho $\frac{x^{4}-1}{y+1}+\frac{y^{4}-1}{x+1}$ nguyên.Chứng minh rằng: $x^{4}y^{4k}-1\vdots x+1$
trong đó $k \in \mathbb{N*}$