Chủ đề này có 1 trả lời

[128]

Cho dãy số xác định bởi a₀ = 2, a₁ = 4 và  $a_{n+1}=\frac{a_{n}a_{n-1}}{2}+a_{n}+a_{n-1}$ với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p >2 luôn tồn tại số nguyên dương m sao cho a_m -1 chia hết cho p.

[nhungvienkimcuong]

Cho dãy số xác định bởi a₀ = 2, a₁ = 4 và  $a_{n+1}=\frac{a_{n}a_{n-1}}{2}+a_{n}+a_{n-1}$ với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p >2 luôn tồn tại số nguyên dương m sao cho a_m -1 chia hết cho p.

từ hệ thức truy hồi bàn đầu ta có

$2(a_{n+1}+2)=(a_n+2)(a_{n-1}+2)$

đặt $x_n=a_n+2$ thì ta có dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_0=4,x_1=6\\x_{n+1}=\frac{x_nx_{n-1}}{2} \end{matrix}\right.$

và ta cần chứng minh

$\exists m:x_m\equiv 3(\text{mod}\ p)\ \ ,\forall p\in \mathbb{P}(p>2)$

ta xét thêm $x_{-1}=3$

gọi $(r_n)$ là dãy số dư tương ứng của $(x_n)$ theo $\mod p$

dễ thấy $\exists k,l:(r_{k},r_{k+1})=(r_l,r_{l+1})$ $($ WLOG $k>l$ $)$

ta có

$r_kr_{l-1}\equiv r_lr_{l-1}\equiv r_{l+1}\equiv r_{k+1}\equiv r_kr_{k-1}(\text{mod}\ p)$

$\Rightarrow r_k(r_{k-1}-r_{l-1})\equiv 0(\text{mod}\ p)\Rightarrow \left[\begin{matrix} p\mid r_k\\r_{k-1}\equiv r_{l-1}(\text{mod}\ p) \end{matrix}\right.$

$\bullet\ p\mid r_k\Rightarrow p\mid x_k$

tương tự xét khi đó tới cuối ta có $p\mid x_1=6\vee p\mid x_0=4\Rightarrow p=3\Rightarrow p\mid x_2-3$

$\bullet\ r_{k-1}\equiv r_{l-1}(\mod p)$

tương tự vậy ta có 

$r_{k+t}\equiv r_{l+t}(\text{mod}\ p)\ \ ,\forall t$

$\Rightarrow r_t\equiv r_{k-l+t}(\text{mod}\ p)\ \ ,\forall t$

đặt $k-l=u$ ta có

$r_t\equiv r_{u+t}(\mod p)\Rightarrow r_t\equiv r_{nu+t}(\text{mod}\ p)$

$\Rightarrow r_{nu-1}\equiv r_{-1}\equiv 3(\text{mod}\ p)$

chọn $n$ đủ lớn sao cho $nu-1\in \mathbb{N}^*$ đặt $m_0=nu-1$ ta có

$x_{m_0}\equiv  r_{m_0}\equiv 3(\text{mod}\ p)$ hay $p\mid x_{m_0}-3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-02-2016 - 20:19