Chủ đề này có 1 trả lời

[TruongQuangTan]

Cho 3 số dương a,b,c chứng minh: $\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\leq \sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 26-02-2016 - 05:51

[PlanBbyFESN]

Cho 3 số dương a,b,c chứng minh: $\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\leq \sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}$

 

$\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\leq \sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\leq \sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=x & & \\ \sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=y & & \\ \sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}=z & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{a}=x^{2}+z^{2}-y^{2} & & \\ \frac{2}{b}=y^{2}+x^{2}-z^{2} & & \\ \frac{2}{c}=z^{2}+y^{2}-x^{2} & & \end{matrix}\right.$          $(x,y,z>0)$

 

Đưa về CM:  $x+y+z\geq \sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}+z^{2}-y^{2}}$

 

Thật vậy: $\left (\sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}-x^{2}} \right )^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2}-z^{2}+z^{2}+y^{2}-x^{2})=4y^{2}\Rightarrow\sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}-x^{2}}\leq 2y$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}-x^{2}}\leq 2y & & \\ \sqrt{y^{2}+z^{2}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}+z^{2}-y^{2}}\leq 2z & & \\ \sqrt{z^{2}+x^{2}-y^{2}}+\sqrt{y^{2}+x^{2}-z^{2}}\leq 2x & & \end{matrix}\right.$

 

Cộng vế theo vế $\Rightarrow$ ĐPCM

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 26-02-2016 - 20:44