Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}$ thì $\exists k \in \mathbb{N^*}$ thỏa $2^n|(19^k-87)$
Vietnam MO 1997
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 26-02-2016 - 21:08
Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}$ thì $\exists k \in \mathbb{N^*}$ thỏa $2^n|(19^k-87)$
Vietnam MO 1997
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 26-02-2016 - 21:08
Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}$ thì $\exists k \in \mathbb{N^*}$ thỏa $2^n|(19^k-87)$
Vietnam MO 1997
Đề gốc là 97 mà nhỉ, 87 vẫn đúng.
$v_2(19^{2^n}-1)=v_2((19^{2^{n-1}}-1)(19^{2^{n-1}}+1)))=v_2((19^{2^{n-1}}+1)(19^{2^{n-2}}-1)(19^{2^{n-2}}+1))=..=v_2((19^{2^{n-1}}+1)(19^{2^{n-2}}+1)..(19^{2^{2}}+1)(19^2+1)(19^2-1))=1+1+1...+3=n-1+3=n+2$
Suy ra: $19^{2^n}-1$ chia hết $2^{n+2}$
Ta chứng minh abwgnf quy nạp. Rõ ràng $n=1,2,3$ đúng. Giả sử đúng tới $n$ có nghĩa là tồn tại $a$ sao cho:
$19^a-87$ chia hết $2^n$
Suy ra: $ 19^a-87 \equiv 0, 2^n mod (2^{n+1})$
Nếu $19^a-87 \equiv 0 (mod 2^{n+1})$ thì ta có đpcm
Nếu $19^a-87 \equiv 2^n (mod 2^{n+1})$ thì đặt $k=a+2^{n-2}$
$19^k-87=19^{2^{n-2}}(19^a-87)+87(19^{2^{n-2}}-1) \equiv 0 (mod 2^{n+1})$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 26-02-2016 - 21:37
Đề gốc là 97 mà nhỉ, 87 vẫn đúng.
$v_2(19^{2^n}-1)=v_2((19^{2^{n-1}}-1)(19^{2^{n-1}}+1)))=v_2((19^{2^{n-1}}+1)(19^{2^{n-2}}-1)(19^{2^{n-2}}+1))=..=v_2((19^{2^{n-1}}+1)(19^{2^{n-2}}+1)..(19^{2^{2}}+1)(19^2+1)(19^2-1))=1+1+1...+3=n-1+3=n+2$
Suy ra: $19^{2^n}-1$ chia hết $2^{n+2}$
Ta chứng minh abwgnf quy nạp. Rõ ràng $n=1,2,3$ đúng. Giả sử đúng tới $n$ có nghĩa là tồn tại $a$ sao cho:
$19^a-87$ chia hết $2^n$
Suy ra: $ 19^a-87 \equiv 0, 2^n mod (2^{n+1})$
Nếu $19^a-87 \equiv 0 (mod 2^{n+1})$ thì ta có đpcm
Nếu $19^a-87 \equiv 2^n (mod 2^{n+1})$ thì đặt $k=a+2^{n-2}$
$19^k-87=19^{2^{n-2}}(19^a-87)+87(19^{2^{n-2}}-1) \equiv 0 (mod 2^{n+1})$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Có cách ko dùng LTE vẫn đúng
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh