Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhnguyenthe333]

1/Tìm $p\in \mathbb{P}$ có dạng $p=n^n+1$ $(n\in \mathbb{N^*})$ biết rằng $p$ không nhiều hơn 19 chữ số

2/Kí hiệu $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$.Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $T=p_1p_2...p_n-1$ là số chính phương

[tpdtthltvp]

2/Kí hiệu $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$.Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $T=p_1p_2...p_n-1$ là số chính phương

Với $n\geq 2$, ta có $p_1p_2\cdots p_n\vdots 3$ nên $T\equiv 2(mod3)$ nên không thể là SCP.

$\Rightarrow n=1\Rightarrow T=2-1=1$ là số chính phương (thỏa mãn).

[Rias Gremory]

1/Tìm $p\in \mathbb{P}$ có dạng $p=n^n+1$ $(n\in \mathbb{N^*})$ biết rằng $p$ không nhiều hơn 19 chữ số

2/Kí hiệu $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$.Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $T=p_1p_2...p_n-1$ là số chính phương

Nếu $n=16$ suy ra $n^n+1=16^{16}+1=2^{64}+1>2^{64}$
Lại có $2^{46}>2^{45}=(2^5)^9=32^9>25^9=(5^2)^9=5^{18}$ suy ra $2^{46}.2^{18}>5^{18}.2^{18}$ hay $2^{64}>10^{18}$
Suy ra $n=16$ loại vì khi đó nó vượt quá 19 chữ số.
Như vậy suy ra $n<16$ (1)
Lại thấy $n$ không có bất kì ước lẻ nào vì nếu giả sử $n$ chia hết cho $q$ với $q$ lẻ suy ra đặt $n=qt$
Suy ra $n^n+1=n^{qt}+1=(n^t)^q+1=(n^t+1)(....)$ (**) (ta hoàn toàn phân tích ra hằng đẳng thức này được vì $q$ lẻ
Suy ra vô lý vì $n^n+1$ là số nguyên tố mà lại có trên 2 ước suy ra loại
Suy ra $n$ bắt buộc phải có dạng $2^m$ (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra $n=1,2,4,8$
Với $n=1,2,4$ đúng.
Với $n=8$ suy ra $n=2^3$
Suy ra $n^n+1=(2^3)^{2^8}+1=2^{3.2^3}+1=(2^{2^3}+1)(...)$ ( do 3 lẻ nên ta phân tích như (**)) suy ra loại vì có trên 2 ước.
Kết luận ..........