Chủ đề này có 2 trả lời

[ThuThao36]

Cho x, y, z > 0 và x+ y+ z = 6. Tìm GTNN của:
$P= \frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^{3}+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^{3}+1}}$

Mấy thánh giúp em, em ngu bđt lắm 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuThao36: 08-03-2016 - 10:26

[PlanBbyFESN]

Cho x, y, z > 0 và x+ y+ z = 6. Tìm GTNN của:
$P= \frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^{3}+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^{3}+1}}$

Mấy thánh giúp em, em ngu bđt lắm 

 

Bài này hơi cứng, làm nhớ để ý dấu bằng:

 

$\frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}=\frac{x}{\sqrt{(y+1)(y^{2}-y+1)}}\geq \frac{x}{\sqrt{\frac{(y^{2}-y+1+y+1)^{2}}{4}}}=\frac{2x}{y^{2}+2}$         (AM-GM)

tương tự..........

 

$\Rightarrow P\geq 2\sum \frac{x}{y^{2}+2}$

 

Ta có: $P\geq \sum \frac{2x}{y^{2}+2}=(x+y+z)-\sum \frac{xy^{2}}{y^{2}+2}$

 

$\frac{xy^{2}}{y^{2}+2}=\frac{xy^{2}}{\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+2}\leq \frac{xy^{2}}{3\sqrt[3]{\frac{y^{4}}{2}}}=\frac{\sqrt[3]{2x^{3}y^{2}}}{3}=\frac{\sqrt[3]{2x.xy.xy}}{3}\leq \frac{2x+2xy}{9}$              (AM-GM)

 

$\Rightarrow \sum \frac{2x}{y^{2}+2}\geq 6-\frac{2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)}{9}\geq 6-\frac{2.6+2.12}{9}=2$

$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=12$

 

$\Rightarrow P\geq 2$

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$

.............................

 

P/S: Chúc 8/3 vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 08-03-2016 - 15:12

[ThuThao36]

Bài này hơi cứng, làm nhớ để ý dấu bằng:

 

$\frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}=\frac{x}{\sqrt{(y+1)(y^{2}-y+1)}}\geq \frac{x}{\sqrt{\frac{(y^{2}-y+1+y+1)^{2}}{4}}}=\frac{2x}{y^{2}+2}$         (AM-GM)

tương tự..........

 

$\Rightarrow P\geq 2\sum \frac{x}{y^{2}+2}$

 

Ta có: $P\geq \sum \frac{2x}{y^{2}+2}=(x+y+z)-\sum \frac{xy^{2}}{y^{2}+2}$

 

$\frac{xy^{2}}{y^{2}+2}=\frac{xy^{2}}{\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+2}\leq \frac{xy^{2}}{3\sqrt[3]{\frac{y^{4}}{2}}}=\frac{\sqrt[3]{2x^{3}y^{2}}}{3}=\frac{\sqrt[3]{2x.xy.xy}}{3}\leq \frac{2x+2xy}{9}$              (AM-GM)

 

$\Rightarrow \sum \frac{2x}{y^{2}+2}\geq 6-\frac{2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)}{9}\geq 6-\frac{2.6+2.12}{9}=2$

$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=12$

 

$\Rightarrow P\geq 2$

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$

.............................

 

P/S: Chúc 8/3 vui vẻ!

Mơn ạ   Mơn câu cuối luôn