4 replies to this topic

[I Love MC]

Romania TST 1998  
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,n)$ sao cho : $x^n+2^n+1$ là một ước của $x^{n+1}+2^{n+1}+1$ 
Cần một lời giải đẹp ! Thanks

[anhquannbk]

Romania TST 1998  
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,n)$ sao cho : $x^n+2^n+1$ là một ước của $x^{n+1}+2^{n+1}+1$ 
Cần một lời giải đẹp ! Thanks

Từng là đề đề nghị olympic đồng bằng Bắc Bộ của trường anh

Edited by anhquannbk, 11-03-2016 - 19:50.

[Ego]

$x^{n} + 2^{n} + 1 \mid x^{n + 1} + 2^{n + 1} + 1 \implies x^{n} + 2^{n} + 1 \mid x^{n + 1} + 2^{n + 1} + 1 - x(x^{n} + 2^{n} + 1) = 2^{n}(2 - x) + 1 - x$
Từ đó suy ra $x^{n} + 2^{n} + 1 \mid (x - 2)2^{n} + x - 1$
Ta sẽ chứng minh $x^{n} + 2^{n} + 1 > (x - 2)2^{n} + x - 1 \iff x^{n} - x + 2 > 2^{n}(x - 3) \iff \left(\frac{x}{2}\right)^{n} - \frac{x}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n - 1}} + 3 > x$ với $x \ge 2$ và $n \ge 2$
Bởi vì $\left(\frac{x}{2}\right)^{n} - \frac{x}{2^{n}} + 3 + \frac{1}{2^{n - 1}} \ge \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + 3$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + 3 \ge x \iff x^{2} + 12 \ge 5x$ (đúng).
Ở các trường hợp này, điều đó buộc $(x - 2)2^{n} + x - 1 = 0$. Dễ thấy PT này không có nghiệm
Vì vậy ta cần xét các TH sau:
TH1. $n = 2$ và $x = 1$. Vô nghiệm.
TH2. $n = 1$. Viết lại, ta có $x + 3 \mid x^{2} + 5 \implies x + 3\mid 14$.
Từ đó suy ra ta có các nghiệm $x = 4$ hoặc $x = 11$.
Thử lại ta có các nghiệm $(x, n) = (4, 1), (11, 1)$
P.S: Không biết còn thiếu không :-s Cảm giác lí luận không ổn.

Edited by Ego, 11-03-2016 - 20:08.

[I Love MC]

$x^{n} + 2^{n} + 1 \mid x^{n + 1} + 2^{n + 1} + 1 \implies x^{n} + 2^{n} + 1 \mid x^{n + 1} + 2^{n + 1} + 1 - x(x^{n} + 2^{n} + 1) = 2^{n}(2 - x) + 1 - x$
Từ đó suy ra $x^{n} + 2^{n} + 1 \mid (x - 2)2^{n} + x - 1$
Ta sẽ chứng minh $x^{n} + 2^{n} + 1 > (x - 2)2^{n} + x - 1 \iff x^{n} - x + 2 > 2^{n}(x - 3) \iff \left(\frac{x}{2}\right)^{n} - \frac{x}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n - 1}} + 3 > x$ với $x \ge 2$ và $n \ge 2$
Bởi vì $\left(\frac{x}{2}\right)^{n} - \frac{x}{2^{n}} + 3 + \frac{1}{2^{n - 1}} \ge \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + 3$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + 3 \ge x \iff x^{2} + 12 \ge 5x$ (đúng)
Vì vậy ta cần xét các TH sau:
TH1. $n = 2$ và $x = 1$. Vô nghiệm.
TH2. $n = 1$. Viết lại, ta có $x + 3 \mid x^{2} + 5 \implies x + 3\mid 14$.
Từ đó suy ra ta có các nghiệm $x = 4$ hoặc $x = 11$.
Thử lại ta có các nghiệm $(x, n) = (4, 1), (11, 1)$
P.S: Không biết còn thiếu không :-s Cảm giác lí luận không ổn.

Anh thử nghĩ lời giải khác được không ạ  
Càng phù hợp với THCS càng tốt  
Lời giải thì em cũng có nhưng phức tạp quá

[Ego]

Anh nghĩ vậy là đơn giản rồi. Anh có dùng gì phức tạp đâu ?? Chỉ dùng đánh giá nếu $a\mid b$ với $a, b$ nguyên không âm và $b < a$ thì $b = 0$. Đâu có gì phức tạp nhỉ??