Chủ đề này có 1 trả lời

[nooneispromisedtomorrow]

Tìm số tự nhiên a sao cho $a^{2}+(a+1)^{2}$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 12-03-2016 - 17:02

[I Love MC]

Ta chỉ cần tìm nghiệm nguyên dương của nó : 
Đặt $a^2+(a+1)^2=y^2 \Leftrightarrow (2a+1)^2-2y^2=1$ (*)
Đặt $x=2a+1$ 
Khi đó ta trở thành phương trình Pell loại II : 
$x^2-2y^2=-1$ (1) 
Phương trình (1) có nghiệm nguyên dương bé nhất  là $(3,2)$  và $3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$ 
Suy ra $(x,y)=(1,1)$ là nghiệm bé nhất của (*) 
Từ đó ta tìm được đãy các nghiệm nguyên dương của phương trình (*) cho bởi  : 
$x_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{2n+1}+(1-\sqrt{2})^{2n+1}}{2},y_n=\frac{(1+\sqrt{2})^{2n+1}-(1-\sqrt{2})^{2n+1}}{2\sqrt{2}}$ 
 Từ đó rút ra công thức truy hồi : 
$\begin{cases} &x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n&\\&y_{n+2}=6y_{n+1}-y_n& \end{cases}$ 
Ta chứng minh $x_k$ lẻ 
Với $k=0,k=1$ thì đúng 
Ta chứng minh đúng với $k+1$ ta có $x_{k+2} \equiv 1 \pmod{2}$ 
Từ đó suy ra dãy nghiệm $\{x_k\}=2a_k+1 \Rightarrow a_k=\frac{x_k-1}{2}$ 
Các số nguyên dương $a$ cần tìm được cho công thức : 
$a_0=0,a_1=3,a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n+2$