Học sinh lớp 10 trường THPT Chuyên Sư Phạm thi dự tuyển vào hai ngày 14 và 15 tháng 3 năm 2016
Xin phép không LateX ra!
Học sinh lớp 10 trường THPT Chuyên Sư Phạm thi dự tuyển vào hai ngày 14 và 15 tháng 3 năm 2016
Xin phép không LateX ra!
Mình xin ủng hộ lời giải hai bài hình ( hai bài này tương đối quen thuộc rồi. Cả hai bài đều đòi hỏi sử dụng các kiến thức về phương tích, trục đẳng phương)
Bài 1: (Bài 3 ngày 1)
Dễ thấy bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra được $OH$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$
Ta có: $BFEC$ nội tiếp suy ra $HB.HE=HC.HF$ nên $H$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$
$OB$ cắt $(BEM)$ tại điểm thứ hai $Z$. $OC$ cắt $(CFN)$ tại điểm thứ hai $T$
Ta có: $\widehat{MZB}=\widehat{MEB}=\widehat{ABH}=\widehat{CBZ}$ suy ra $MZ \parallel BC$ suy ra $M,Z,N$ thẳng hàng
Tương tự $M,T,N$ thẳng hàng nên $M,N,T,Z$ thẳng hàng
Mà $OB=OC$ nên dễ dàng suy ra $OZ=OT$ suy ra $OB.OZ=OC.OT$ hay $O$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$
Do đó $OH$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$ suy ra $OH \perp O_{1}O_{2}$
Bài 2: (Bài 3 ngày 2)
Bài này có cấu hình quen thuộc để sử dụng tính chất của hàng điểm điều hòa và có nhiều bổ đề phụ xung quanh nó vì thế để giải quyết bài toán này chỉ cần biết và sử dụng những bổ đề này là xong
Gọi $G$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Gọi $I$ là trung điểm $EF$. GỌi $L$ là giao điểm của $PN$ và $NQ$
Kẻ các tiếp tuyến $GK,GH$ với $(O)$. Gọi $R,S$ lần lượt là trung điểm của $EK,EH$
a) Ta có các hàng điều hòa cơ bản sau: $(GPAB)=-1,(GQDC)=-1$
Do đó theo hệ thức $Maclaurint$ và tính chất của phương tích thì: $GP.GM=GA.GB=GD.GC=GQ.GN$
Suy ra $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm $T$
b) Theo định lý về đường thẳng $Gauss$ thì $M,N,I$ thẳng hàng
Bổ đề 1: $F,K,H$ thẳng hàng (Đây là bổ đề quen thuộc nên mình xin phép không chứng minh lại ở đây)
Từ đây theo tính chất về đường trung bình dễ thấy $I,R,S$ thẳng hàng
Bổ đề 2: $EF$ là tiếp tuyến của $(MFN)$ (Đây cũng là một bổ đề quen thuộc và đã được giải quyết ở http://diendantoanho...ắt-acab-tại-ef/)
Bổ đề 3: $I$ là tâm đẳng phương của $(T)$, $(O)$ và $E$ (ở đây mình dùng khái niệm về trục đẳng phương của một đường tròn với một điểm các bạn có thể xem thêm tại: https://nguyenvanlin...t-and-a-circle/)
Chứng minh:
Theo bổ đề $2$ thì $IE^2=IF^2=IM.IN$ suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $E$
Ta có: $RS$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $E$ mà $I,R,S$ thẳng hàng nên $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và $E$
Do đó $I$ là tâm đẳng phương của $(T)$, $(O)$ và $E$
Bổ đề 4: $GI \perp OT$
Chứng minh:
Theo bổ đề $3$ thì $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$
Lại có: $GP.GM=GA.GB$ nên $G$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$
Do đó $GI$ là trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$. Suy ra $GI \perp OT$
Trở lại bài toán: Đề chứng minh $PN,QM,OT$ đồng quy thì theo bổ đề $4$ chỉ cần chứng minh $GI \perp LT$
Nhưng điều này luôn đúng bởi định lý $Brocard$ cho tứ giác nội tiếp $MNQP$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 15-03-2016 - 23:53
Mình xin ủng hộ lời giải hai bài hình ( hai bài này tương đối quen thuộc rồi. Cả hai bài đều đòi hỏi sử dụng các kiến thức về phương tích, trục đẳng phương)
Bài 1: (Bài 3 ngày 1)
Dễ thấy bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra được $OH$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$
Ta có: $BFEC$ nội tiếp suy ra $HB.HE=HC.HF$ nên $H$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$
$OB$ cắt $(BEM)$ tại điểm thứ hai $Z$. $OC$ cắt $(CFN)$ tại điểm thứ hai $T$
Ta có: $\widehat{MZB}=\widehat{MEB}=\widehat{ABH}=\widehat{CBZ}$ suy ra $MZ \parallel BC$ suy ra $M,Z,N$ thẳng hàng
Tương tự $M,T,N$ thẳng hàng nên $M,N,T,Z$ thẳng hàng
Mà $OB=OC$ nên dễ dàng suy ra $OZ=OT$ suy ra $OB.OZ=OC.OT$ hay $O$ thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$
Do đó $OH$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$ suy ra $OH \perp O_{1}O_{2}$
Bài 2: (Bài 3 ngày 2)
Bài này có cấu hình quen thuộc để sử dụng tính chất của hàng điểm điều hòa và có nhiều bổ đề phụ xung quanh nó vì thế để giải quyết bài toán này chỉ cần biết và sử dụng những bổ đề này là xong
Gọi $G$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Gọi $I$ là trung điểm $EF$. GỌi $L$ là giao điểm của $PN$ và $NQ$
Kẻ các tiếp tuyến $GK,GH$ với $(O)$. Gọi $R,S$ lần lượt là trung điểm của $EK,EH$
a) Ta có các hàng điều hòa cơ bản sau: $(GPAB)=-1,(GQDC)=-1$
Do đó theo hệ thức $Maclaurint$ và tính chất của phương tích thì: $GP.GM=GA.GB=GD.GC=GQ.GN$
Suy ra $M,N,P,Q$ cùng thuộc một đường tròn có tâm $T$
b) Theo định lý về đường thẳng $Gauss$ thì $M,N,I$ thẳng hàng
Bổ đề 1: $F,K,H$ thẳng hàng (Đây là bổ đề quen thuộc nên mình xin phép không chứng minh lại ở đây)
Từ đây theo tính chất về đường trung bình dễ thấy $I,R,S$ thẳng hàng
Bổ đề 2: $EF$ là tiếp tuyến của $(MFN)$ (Đây cũng là một bổ đề quen thuộc và đã được giải quyết ở http://diendantoanho...ắt-acab-tại-ef/)
Bổ đề 3: $I$ là tâm đẳng phương của $(T)$, $(O)$ và $E$ (ở đây mình dùng khái niệm về trục đẳng phương của một đường tròn với một điểm các bạn có thể xem thêm tại: https://nguyenvanlin...t-and-a-circle/)
Chứng minh:
Theo bổ đề $2$ thì $IE^2=IF^2=IM.IN$ suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $E$
Ta có: $RS$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $E$ mà $I,R,S$ thẳng hàng nên $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và $E$
Do đó $I$ là tâm đẳng phương của $(T)$, $(O)$ và $E$
Bổ đề 4: $GI \perp OT$
Chứng minh:
Theo bổ đề $3$ thì $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$
Lại có: $GP.GM=GA.GB$ nên $G$ nằm trên trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$
Do đó $GI$ là trục đẳng phương của $(T)$ và $(O)$. Suy ra $GI \perp OT$
Trở lại bài toán: Đề chứng minh $PN,QM,OT$ đồng quy thì theo bổ đề $4$ chỉ cần chứng minh $GI \perp LT$
Nhưng điều này luôn đúng bởi định lý $Brocard$ cho tứ giác nội tiếp $MNQP$
cảm ơn bạn, lời giải hay, mình cũng có hướng như vậy. về ý tưởng thì khá cũ.
bạn giúp mình bài cuối ngày một được không
hướng câu hệ: bình phương hai vế hai phương trình rồi rút x+y ra và thế vào phương trình thứ hai
cảm ơn bạn, lời giải hay, mình cũng có hướng như vậy. về ý tưởng thì khá cũ.
bạn giúp mình bài cuối ngày một được không
Câu 4 (ngày 1) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi tập gồm $k$ số tự nhiên luôn tồn tại $6$ phần tử trong tập có tổng là bội của $6$
Bài này đọc thì mình thấy nó giống với dạng phát biểu của một định lý nổi tiếng của $Erdos$ trong số học. Mình xin nêu lại định lý này:
Với mọi số nguyên dương $n>1$. Khi đó trong $2n-1$ số nguyên bất kỳ luôn tồn tại $n$ số có tổng chia hết cho $n$
Áp dụng vào bài toán này thì: Với mọi tập gồm $11$ số nguyên bất kỳ luôn tồn tại $6$ phần tử có tổng là bội của $6$
Do đó mình nghĩ giá trị nhỏ nhất của $k$ là $11$. Vấn đề bây giờ là tìm phản ví dụ với trường hợp $k=10$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 19-03-2016 - 16:25
Đề câu bất đẳng thức (gõ ra do hơi mờ):
Với các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện $(a+b+c)abc=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{a^{5}}{a^{3}+2b^{3}}+\frac{b^{5}}{b^{3}+2c^{3}}+\frac{c^{5}}{c^{3}+2a^{3}}$
Sử dụng kĩ thuật $AM-GM$ ngược dấu:
Có $\frac{a^5}{a^3+2b^3}=a^2-\frac{2a^2b^3}{a^3+2b^3} \geq a^2-\frac{2a^2b^3}{3ab^2} = a^2-\frac{2}{3}ab$
Suy ra $P \geq a^2+b^2+c^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ca) \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$
Có $\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{abc(a+b+c)}{3}} \leq \sqrt{\frac{(ab+bc+ca)^2}{9}} \leq \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{9}}= \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$
Suy ra $P \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$
Câu 3b ngày hai
Gọi
MQ cắt NP tại X. QT,PT cắt (T) tại Y,Z.
Dễ thấy $\angle YNC=\angle ONC=90^0\Rightarrow \overline{Y,O,N}$
Tương tự $\overline{M,O,Z}$
Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm Y,M,P,Q,N,Z ta có $\overline{X,O,T}$ suy ra đpcm
Tôi không lười biếng, tôi đơn giản chỉ: "Tiết kiệm năng lượng"
---Oreki Houtarou---
bài hệ là hệ đối xứng 2. Chắc ai cũng giải đc
Tự cố gắng. Không ai có thể giúp mình cả
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi thử vào 10 chuyên ĐHSP vòng 2Bắt đầu bởi Syndycate, 04-04-2021 csp, thi thử, vào 10, vòng 2 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi thử vào 10 chuyên ĐHSP vòng 1Bắt đầu bởi Syndycate, 04-04-2021 thi thử, vào 10, csp |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Tài liệu - đề thi THPT →
Tài liệu tham khảo khác →
Đề thi chọn đội dự tuyển Toán 10 PTNK 2018-2019Bắt đầu bởi Nguyen Quang Minh Khoa, 22-01-2019 toán 10, 30/4, ptnk, 2018-2019 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi tuyển sinh chuyên Sư Phạm 2017-2018Bắt đầu bởi Mr Cooper, 31-05-2017 csp, tuyển sinh |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
Tổ hợp trong đề thi chuyền hệ HK1 lớp 10 của THPT chuyên ĐHSP HNBắt đầu bởi tungc3sp, 12-01-2012 CSP |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh