Giải phương trình nghiệm nguyên dương : $(x^2+1)^y-(x^2-1)^y=(2x)^y$
$(x^2+1)^y-(x^2-1)^y=(2x)^y$
#1
Đã gửi 18-03-2016 - 21:17
#2
Đã gửi 18-03-2016 - 21:36
-Xét y=0 (Loại)
-Xét y$\neq$ 0
+ Dễ thấy : y chẵn ( Xét mod x)
Đặt $a=x^{2}+1$
$b=x^{2}-1$ , ta có : $a^{y}-b^{y}=[(a-b).x]^{y}$
$\Rightarrow a^{y}-b^{y}\vdots \left ( a-b \right )^{y}$
Đến đây thì mình chưa lập luận được tiếp ....nhưng chắc hẳn cũng sẽ sắp ra
Các bạn tiếp tục hộ mình nhé
#3
Đã gửi 19-03-2016 - 17:38
Viết lại PT, $(x^{2} + 1)^{y} = (x^{2} - 1)^{y} + (2x)^{y}$
Nếu $y \ge 3$, theo định lý Fermat lớn thì không tồn tại bộ nguyên dương. Điều đó nghĩa là một trong các số $x^{2} + 1; x^{2} - 1; 2x$ bằng $0$
Dễ thấy $x^{2} + 1$ và $2x$ khác $0$ nên chỉ có thể $x^{2} = 1$ hay $x = 1$. Thế lại ta có nó đúng với mọi $y \ge 3$
Nếu $y = 1$ thì suy ra $x = 1$
Nếu $y = 2$ thì viết lại pt $x^{4} + 2x^{2} + 1 = x^{4} - 2x^{2} + 1 + 4x^{2}$ điều này luôn đúng. Nghĩa là $(x, y) = (t, 2)$ là nghiệm với $t$ nguyên dương bất kì
Vậy ta có các nghiệm $(x, y) = (1, t), (t, 2)$.
P.s: mình nghĩ mình còn 1 lgiai nữa không dùng đến Fermat lớn nhưng hiện tại không ở nhà nên sẽ post sau :-D
- I Love MC, hoctrocuaHolmes, PlanBbyFESN và 2 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 19-03-2016 - 17:50
Một lời giải xấu xí.
Viết lại PT, $(x^{2} + 1)^{y} = (x^{2} - 1)^{y} + (2x)^{y}$
Nếu $y \ge 3$, theo định lý Fermat lớn thì không tồn tại bộ nguyên dương. Điều đó nghĩa là một trong các số $x^{2} + 1; x^{2} - 1; 2x$ bằng $0$
Dễ thấy $x^{2} + 1$ và $2x$ khác $0$ nên chỉ có thể $x^{2} = 1$ hay $x = 1$. Thế lại ta có nó đúng với mọi $y \ge 3$
Nếu $y = 1$ thì suy ra $x = 1$
Nếu $y = 2$ thì viết lại pt $x^{4} + 2x^{2} + 1 = x^{4} - 2x^{2} + 1 + 4x^{2}$ điều này luôn đúng. Nghĩa là $(x, y) = (t, 2)$ là nghiệm với $t$ nguyên dương bất kì
Vậy ta có các nghiệm $(x, y) = (1, t), (t, 2)$.
P.s: mình nghĩ mình còn 1 lgiai nữa không dùng đến Fermat lớn nhưng hiện tại không ở nhà nên sẽ post sau :-D
Đúng thật là rất xấu xí khi đây là một bài trong đề học sinh giỏi THCS (em nói thật). Nghĩ lại thì em cũng có 1 lời giải dùng đến Newton
#5
Đã gửi 19-03-2016 - 20:08
Đúng thật là rất xấu xí khi đây là một bài trong đề học sinh giỏi THCS (em nói thật). Nghĩ lại thì em cũng có 1 lời giải dùng đến N
Bạn có thể trình bày cụ thể về cách của bạn được không ? Theo tớ THCS thì không nên sử dụng các kiến thức quá cao cấp !
#6
Đã gửi 20-03-2016 - 23:51
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh