Chủ đề này có 1 trả lời

[Bichess]

Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn với x thuộc R

$(x^2-x)P(x+2)- (x^2+5x+6)P(x)=4(x^2+2x)$

 

[Ninhduccuong]

thay x=0 vao (1), ta có:

P(0)=0 suy ra 0 là nghiệm của P. Đặt P(x)=xQ(x)

ta có (1) tương đương:

$(x^{2}-x)(x+2)Q(x+2)-(x^{2}+5x+6)xQ(x)=4(x^{2}+2x)$

<=> $(x-1)Q(x+2)-(x-3)Q(x)=4$

<=> $(x-1)(Q(x+2)-1)=(x+3)(Q(x)-1)$                  (2)

Đặt R(x)= Q(x) -1. ta có (2) tương đương

$(x-1)R(x+2)=(x+3)R(x)$                (3)

thay x=1 vào (3) ta có R(1)=0

thay x=-3 vào (3) ta có R(-1)=0

Suy ra 1;1  là nghiệm của R. Đặt R(x)= (x-1)(x+1)H(x). ta có (3) tương đương

$(x-1)(x+1)(x+3)H(x+2)=(x-1)(x+3)(x+1)H(x)$

<=> H(x+2)=H(x) <=> H(x)=C (C là hằng số)

<=> P(x)= x((x-1)(x+1)C -1)