Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không có sự sống
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 25-03-2016 - 20:18

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$



#2 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 25-03-2016 - 20:33

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$

 

$x+2y+3=(x+y)+(y+1)+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{y}+2=2(\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1)$  

     

$\Rightarrow \frac{1}{x+2y+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1})$ 

 

Tương tự:  $\frac{1}{y+2z+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{z}+1})$

                  $\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{zx}+\sqrt{x}+1})$

 

$\Rightarrow \frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1}+\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{z}+1}+\frac{1}{\sqrt{zx}+\sqrt{x}+1})=\frac{1}{2}$             (do $xyz=1$)

..........................................


:huh:


#3 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 25-03-2016 - 20:42

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$ Chúng minh

$\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}\leq \frac{1}{2}$

Chuyển $(x;y;z) => (a^{2};b^{2};c^{2})$

Ta $abc=1$

BĐT cần chứng minh: $ \dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\le \dfrac{1}{2}$

Ta : $a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2 \ge 2ab+2b+2=2(ab+b+1)$

Suy ra $ \dfrac{1}{a^{2}+2b^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(ab+b+1)}$

Tương tự

$ \dfrac{1}{b^{2}+2c^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(bc+c+1)} $

$ \dfrac{1}{c^{2}+2a^{2}+3} \le \dfrac{1}{2(ac+a+1)} $

Sử dụng đồng nhất thức quen thuộc:

$ \dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ac+a+1}=1 $ với $ abc=1 $

suy ra đpcm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh