Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}} + \sqrt{\frac{b+c}{a+bc}} + \sqrt{\frac{c+a}{b+ac}} \geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 28-03-2016 - 22:00
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}} + \sqrt{\frac{b+c}{a+bc}} + \sqrt{\frac{c+a}{b+ac}} \geq 3$
Bắt đầu bởi VermouthS, 28-03-2016 - 21:50
#1
Đã gửi 28-03-2016 - 21:50
VermouthS
-
- Thành viên
-
- 52 Bài viết
Hạ sĩ
- Ngoc Hung yêu thích
“Chúng mày đừng có chọc tao, tao là đứa đã xem hơn 700 tập phim Conan.
Biết hơn 600 cách giết người, thông thạo hơn 200 phương pháp giết người trong phòng kín, nhận được hơn 100 loại thuốc độc, giỏi nhất là tạo chứng cớ ngoại phạm, vô cùng quen thuộc với việc lợi dụng dây câu, máy ghi âm, dao con, kim tẩm độc và vô vàn công cụ gây án khác.
Nhớ đấy, đừng có động vào tao, không thì mày chết thế nào mày cũng không biết đâu.”
~
#2
Đã gửi 28-03-2016 - 22:21
royal1534
-
- Điều hành viên THCS
-
- 773 Bài viết
Trung úy
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}} + \sqrt{\frac{b+c}{a+bc}} + \sqrt{\frac{c+a}{b+ac}} \geq 3$
Sử dụng bđt AM-GM cho 3 số ta có
$VT \geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}}$
Ta quy bài toán về chứng minh:
$(a+b)(b+c)(c+a) \geq (a+bc)(b+ca)(c+ab)$ (Với $a+b+c=3$)
Tiếp tục sử dụng bđt AM-GM ta có:
$(a+bc)(b+ca) \leq \frac{(a+bc+b+ca)^2}{4}=\frac{[(a+b)(c+1)]^2}{4}$
Tương tự $(b+ca)(c+ab) \leq \frac{[(b+c)(a+1)]^2}{4}$
$(c+ab)(a+bc) \leq \frac{[(c+a)(b+1)]^2}{4}$
Nhân các bđt vừa tìm được vế theo vế ta thu được:
$(a+bc)(b+ca)(c+ab) \leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)(a+1)(b+1)(c+1)}{8}$
Ta đưa bài toán về chứng minh:$(a+1)(b+1)(c+1) \leq 8$
Tuy nhiên đây là 1 đánh giá đúng theo AM-GM vì ta có:
$(a+1)(b+1)(c+1) \leq \frac{(a+b+c+3)^3}{27}=8$
Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 28-03-2016 - 22:22
- Ngoc Hung, tpdtthltvp, Hannie và 6 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
