Chủ đề này có 2 trả lời

[royal1534]

Bài toán:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $a+b+c=1.$

Chứng minh $A=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a} \geq \frac{23}{3}$

-----------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 01-04-2016 - 17:35

[I Love MC]

Chú ý $a^2+b^2+c^2=\sum a^3+ \sum ab(a+b) \ge 3(\sum a^2b)>0$ 
Suy ra $A \ge 14(\sum a^2)+\frac{3(\sum ab)}{\sum a^2}=14(\sum a^2)+\frac{3.[1-(\sum a^2)]}{2.(\sum a^2)}$ 
Đặt $t=\sum a^2 \ge \frac{1}{3}$  
Ta sẽ chứng minh $14t+\frac{3-3t}{2t} \ge \frac{23}{3} \Leftrightarrow (28t-9)(3t-1) \ge 0$ (đúng)

[PlanBbyFESN]

Bài này nên trình bày theo AM-GM thì đẹp hơn I Love MC!

 

Mấu chốt của bài là:

 

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

 

Nếu không nhầm thì đây là bài thi HSG thành phố Hải Phong, hồi lớp 8 nên nhớ không rõ. Bài đó là như thế này:

 

$a,b,c>0: a+b+c=1$ Tìm min: $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$