PIC sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS .
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên.
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương
1) $x^5-5x^3+4x=24(5y+1)$
2) $3x^5-x^3+6x^2-18x=2005$
3) $x^4+x^3+x^2+x=y^2+y$
4) $x^3+2y^3=4z^3$
5) $x^2+y^2=6(z^2+t^2)$
6) $x^2+y^2+z^2=2xyz$
7) $x^4-2y^2=1$
8) $x^2+y^2=7z^2$
9) $x^2-y^3=7$
10) $m^2n+6mn+9n=32$ (dg)
11) $x^2+y^2+z^2=(xy)^2$
12 ) $x^2+y^2=z^2$
13) $x^7+y^7=7z$
14) $x!+y!=(x+y)!$
15) $x^{17}+y^{17}=9^{17}$ (dg)
16) $\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+t+y}=\frac{40}{31}$ (dg)
17) $(1+2+...+x)(1^2+2^2+...+x^2)=y^2$
18) $\frac{1}{x^2(x^2+y^2)}+\frac{1}{(x^2+y^2)(x^2+y^2+z^2)}+\frac{1}{x^2(x^2+y^2+z^2)}=1$
19) $2^x+3^x=35$ (dg)
20) $2^x+3^x=5^x$ (dg)
21) $2^x+2^y=2^z$ (dg)
22) $x^x+y^y+z^z=t^t$ (dg)
23) Hệ : $\begin{cases} &xy+2zt=0&\\&xt-yz=1& \end{cases}$
24) $(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$ (dg)
25) $x^2+y^2=2011^{1995^k+1}.(10-z)$ (dg) với $k$ là số cho trước (tìm $x,y,z$)
26) Tìm $(x,y,n)$ thỏa $x!+y!=3^n.n!$
27) $x^2+y^2=2003z^2$ (dg)
28) $2002x^2-2003y^2+20736=0$ có vô số nghiệm nguyên ,hãy chứng minh
29) Chứng minh phương trình $x^4-1993x^3+(1993+n)x^2-11x+n=0$ có không quá một nghiệm nguyên với $n$ là số nguyên
30) Tìm $p$ để $x^2+y^2+1=pxy$ có nghiệm nguyên dương.
31) $x^6y+y^6x+5(x+y)-12xy=0$ (dg)
32) $(x^2-y^2)^2=1+16y$
33) Hệ $\begin{cases} &5x^3+x^2z-y^2z=0&\\&5x+y=21z& \end{cases}$
34) Hệ $\begin{cases} &\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=z^2&\\&3x+7y=9z& \end{cases}$
35) $\frac{2012}{x+y}+\frac{x}{y+2011}+\frac{y}{4023}+\frac{2011}{2012+x}=\frac{2}{z}$ (tìm $x,y,z$ dương)
Sẽ cập nhật tiếp .......................
Một số bài toán phương trình nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS ôn thi vào THPT chuyên
#1
Đã gửi 31-03-2016 - 21:33
- Ngoc Hung, O0NgocDuy0O, hoctrocuaHolmes và 10 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 31-03-2016 - 22:13
16) $\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+t+y}=\frac{40}{31}$ (dg)
Bài này làm theo pp casio
Pt$\Leftrightarrow \frac{x(yzt+y+t)+zt+1}{yzt+t+y}=\frac{31+9}{31}$
$\Leftrightarrow x+\frac{1}{\frac{yzt+t+y}{zt+1}}=1+\frac{1}{\frac{31}{9}}$
$\Leftrightarrow x+\frac{1}{\frac{y(zt+1)+t}{zt+1}}=1+\frac{1}{\frac{27+4}{9}}$
$\Leftrightarrow x+\frac{1}{y+\frac{1}{\frac{zt+1}{t}}}=1+\frac{1}{3+\frac{1}{\frac{9}{4}}}$
$\Leftrightarrow x+\frac{1}{y+\frac{1}{z+\frac{1}{t}}}=1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{4}}}$
$\Rightarrow x=1, y=3, z=2, t=4$
- I Love MC và O0NgocDuy0O thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 31-03-2016 - 22:24
Mình gà vs lại k có time nên chém mở hang tr bài 20
$2^x+3^x=5^x <=>(\frac{2}{5})^x+(\frac{3}{5})^x=1$
Với $x=1$ thì $(\frac{2}{5})+(\frac{3}{5})=1$ (đ)
Với $x>1$ thì $(\frac{2}{5})^x<(\frac{2}{5})^1$;$(\frac{3}{5})^x<(\frac{3}{5})^1$ nên $(\frac{2}{5})^x+(\frac{3}{5})^x <1$,loại.
Với $x<1$ thì $(\frac{2}{5})^x>(\frac{2}{5})^1$;$(\frac{3}{5})^x>(\frac{3}{5})^1$ nên $(\frac{2}{5})^x+(\frac{3}{5})^x >1$,loại.
Vậy pt có nghiệm nguyên dương duy nhất $x=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mystic: 31-03-2016 - 22:26
- I Love MC, Minh Hieu Hoang và Nobel thích
>>> Nếu bạn luôn buồn phiền hãy dùng hy vọng để chữa trị <<<
Và ...
>>> Không bao giờ nói bạn đã thất bại
Cho đến khi đó là nỗi lực cuối cùng của bạn
Và không bao giờ nói rằng:
Đó là nỗi lực cuối cùng của bạn
Cho tới khi bạn đã thành công >>>
~ Mystic Lâm
#4
Đã gửi 02-04-2016 - 18:36
PIC sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS .
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên.
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương
1) $x^5-5x^3+4x=24(5y+1)$
2) $3x^5-x^3+6x^2-18x=2005$
1) Phương trình tương đương: $(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=24(5y+1)\Rightarrow 24(5y+1)\vdots 5\Rightarrow 24\vdots 5(VL)$. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2) Xét tính chẵn lẻ suy ra $3x^5-x^3+6x^2-18x$ luôn chẵn. Suy ra vô lí vì $2005$ lẻ. Vậy phương trình vô nghiệm.
- I Love MC và kunsomeone thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Đã gửi 02-04-2016 - 18:55
PIC sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS .
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên.
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương
4) $x^3+2y^3=4z^3$
6) $x^2+y^2+z^2=2xyz$
4) Nhận thấy $x$ chia hết cho $2$. Đặt $x=2x_{1}(x_{1}\in \mathbb{N}^{*})\Rightarrow 8x_{1}^{3}+2y^{3}=4z^{3}\Rightarrow 4x_{1}^{3}+y^{3}=2z^{3}\Rightarrow y\vdots 2\Rightarrow y=2y_{1}(y_{1}\in \mathbb{N}^{*})\Rightarrow 2x_{1}^{3}+4y_{1}^{3}=z^{3}\Rightarrow z\vdots 2\Rightarrow z=2z_{1}(z_{1}\in \mathbb{N}^{*})\Rightarrow x_{1}^{3}+2y_{1}^{3}=4z_{1}^{3}.$ Phương trình này có dạng tương tự phương trình ban đầu. Tiếp tục như vậy thì nếu $(x,y,z)$ là nghiệm phương trình ban đầu thì $(x,y,z)=(\frac{x}{2^{k}},\frac{y}{2^{k}},\frac{z}{2^{k}})$($k$ tự nhiên tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ban đầu. Điều này chỉ xảy ra khi $x=y=z=0$. Mà $x,y,z$ dương nên vô nghiệm.
6) Giải tương tự.
- I Love MC, kunsomeone và Minhmai145 thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#6
Đã gửi 03-04-2016 - 17:35
PIC sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS .
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên.
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương
7) $x^4-2y^2=1$
8) $x^2+y^2=7z^2$
9) $x^2-y^3=7$
10) $m^2n+6mn+9n=32$ (dg)
12 ) $x^2+y^2=z^2$
13) $x^7+y^7=7z$
7)Phương trình Pell loại 1
8)Bài này có thể mở rộng lên nghiệm hữu tỉ
Từ phương trình trên suy ra $x,y\vdots 7$
Đặt $x=7x_{1};y=7y_{1}\Rightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=7z_{1}^{2}$.Quá trình tiếp tục đến $x_{n},y_{n},z_{n}\vdots 7\Rightarrow x,y,z\vdots 7^{n}\Rightarrow x=y=z=0$
9)Từ phương trình trên dễ có $x$ lẻ (cm bằng cách xét module 8)
$PT\Leftrightarrow y^{2}+1=(x+2)(x^2-2x+4)$
Nếu $x\equiv 3(mod 4)$ ($k$ nguyên dương) thì $y^{2}+1\equiv (3+2)(3^2-2.3+4)=35\equiv -1(mod 4)\Rightarrow y^{2}\equiv 2(mod 4)(VL)$
Do đó $x\equiv 1(mod 4)$$\Rightarrow x+2\equiv 3(mod 4)$ suy ra $x+2$ có ước nguyên tố là $4n+3$ $\Rightarrow 1\vdots 4n+3\rightarrow VL\rightarrow PTVNNN$
10)$PT\Leftrightarrow n(m+3)^{2}=32$
12)Phương trình Pythagores
- I Love MC và O0NgocDuy0O thích
#7
Đã gửi 03-04-2016 - 20:48
7)Phương trình Pell loại 1
8)Bài này có thể mở rộng lên nghiệm hữu tỉ
Từ phương trình trên suy ra $x,y\vdots 7$
Đặt $x=7x_{1};y=7y_{1}\Rightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=7z_{1}^{2}$.Quá trình tiếp tục đến $x_{n},y_{n},z_{n}\vdots 7\Rightarrow x,y,z\vdots 7^{n}\Rightarrow x=y=z=0$
9)Từ phương trình trên dễ có $x$ lẻ (cm bằng cách xét module 8)
$PT\Leftrightarrow y^{2}+1=(x+2)(x^2-2x+4)$
Nếu $x\equiv 3(mod 4)$ ($k$ nguyên dương) thì $y^{2}+1\equiv (3+2)(3^2-2.3+4)=35\equiv -1(mod 4)\Rightarrow y^{2}\equiv 2(mod 4)(VL)$
Do đó $x\equiv 1(mod 4)$$\Rightarrow x+2\equiv 3(mod 4)$ suy ra $x+2$ có ước nguyên tố là $4n+3$ $\Rightarrow 1\vdots 4n+3\rightarrow VL\rightarrow PTVNNN$
Spoiler10)$PT\Leftrightarrow n(m+3)^{2}=32$
12)Phương trình Pythagores
Mấy bài như này nên trình bày ra cho mọi người hiểu
- O0NgocDuy0O và tquangmh thích
#8
Đã gửi 08-04-2016 - 20:19
Bài 14 ) Giả sử $x\geq y$ suy ra :
$(x+y)!\leq 2x!$
Nếu $y\geq 1 \Rightarrow 2x!\geq (x+y)!\geq (x+1)!$ $\Rightarrow 2x!\geq (x+1)x!\Rightarrow 2\geq x+1\Rightarrow 1\geq x\geq y\Rightarrow x=y=1$
Nếu $y\leq 1 \Rightarrow x=y=1$ (Vì x,y nguyên dương )
#9
Đã gửi 12-04-2016 - 16:52
sôi nổi lên nào
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh