Chủ đề này có 8 trả lời

[I Love MC]

PIC  sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS . 
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên. 
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương 
1)  $x^5-5x^3+4x=24(5y+1)$ 
2) $3x^5-x^3+6x^2-18x=2005$ 
3) $x^4+x^3+x^2+x=y^2+y$ 
4) $x^3+2y^3=4z^3$ 
5) $x^2+y^2=6(z^2+t^2)$ 
6) $x^2+y^2+z^2=2xyz$ 
7) $x^4-2y^2=1$ 
8) $x^2+y^2=7z^2$ 
9) $x^2-y^3=7$ 
10) $m^2n+6mn+9n=32$ (dg)
11) $x^2+y^2+z^2=(xy)^2$ 
12 ) $x^2+y^2=z^2$ 
13) $x^7+y^7=7z$ 
14) $x!+y!=(x+y)!$ 
15) $x^{17}+y^{17}=9^{17}$ (dg)
16) $\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+t+y}=\frac{40}{31}$ (dg) 
17) $(1+2+...+x)(1^2+2^2+...+x^2)=y^2$ 
18) $\frac{1}{x^2(x^2+y^2)}+\frac{1}{(x^2+y^2)(x^2+y^2+z^2)}+\frac{1}{x^2(x^2+y^2+z^2)}=1$ 
19) $2^x+3^x=35$ (dg)
20) $2^x+3^x=5^x$ (dg)
21) $2^x+2^y=2^z$ (dg)
22) $x^x+y^y+z^z=t^t$ (dg) 
23) Hệ : $\begin{cases} &xy+2zt=0&\\&xt-yz=1& \end{cases}$ 
24) $(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$ (dg) 
25) $x^2+y^2=2011^{1995^k+1}.(10-z)$ (dg) với $k$ là số cho trước (tìm $x,y,z$)
26) Tìm $(x,y,n)$ thỏa $x!+y!=3^n.n!$ 
27) $x^2+y^2=2003z^2$ (dg) 
28) $2002x^2-2003y^2+20736=0$ có vô số nghiệm nguyên ,hãy chứng minh
29) Chứng minh phương trình $x^4-1993x^3+(1993+n)x^2-11x+n=0$ có không quá một nghiệm nguyên với $n$ là số nguyên  
30) Tìm $p$ để $x^2+y^2+1=pxy$ có nghiệm nguyên dương. 
31) $x^6y+y^6x+5(x+y)-12xy=0$ (dg) 
32) $(x^2-y^2)^2=1+16y$ 
33) Hệ $\begin{cases} &5x^3+x^2z-y^2z=0&\\&5x+y=21z& \end{cases}$ 
34)  Hệ $\begin{cases} &\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=z^2&\\&3x+7y=9z& \end{cases}$ 
35) $\frac{2012}{x+y}+\frac{x}{y+2011}+\frac{y}{4023}+\frac{2011}{2012+x}=\frac{2}{z}$ (tìm $x,y,z$ dương) 
Sẽ cập nhật tiếp .......................
 

[NTA1907]

16) $\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+t+y}=\frac{40}{31}$ (dg) 

Bài này làm theo pp casio

Pt$\Leftrightarrow \frac{x(yzt+y+t)+zt+1}{yzt+t+y}=\frac{31+9}{31}$

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{\frac{yzt+t+y}{zt+1}}=1+\frac{1}{\frac{31}{9}}$

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{\frac{y(zt+1)+t}{zt+1}}=1+\frac{1}{\frac{27+4}{9}}$

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{y+\frac{1}{\frac{zt+1}{t}}}=1+\frac{1}{3+\frac{1}{\frac{9}{4}}}$

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{y+\frac{1}{z+\frac{1}{t}}}=1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{4}}}$

$\Rightarrow x=1, y=3, z=2, t=4$

[Mystic]

Mình gà vs lại k có time nên chém mở hang tr bài 20

$2^x+3^x=5^x <=>(\frac{2}{5})^x+(\frac{3}{5})^x=1$

Với $x=1$ thì $(\frac{2}{5})+(\frac{3}{5})=1$ (đ)

Với $x>1$ thì $(\frac{2}{5})^x<(\frac{2}{5})^1$;$(\frac{3}{5})^x<(\frac{3}{5})^1$ nên $(\frac{2}{5})^x+(\frac{3}{5})^x <1$,loại.

Với $x<1$ thì $(\frac{2}{5})^x>(\frac{2}{5})^1$;$(\frac{3}{5})^x>(\frac{3}{5})^1$ nên $(\frac{2}{5})^x+(\frac{3}{5})^x >1$,loại.

Vậy pt có nghiệm nguyên dương duy nhất $x=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mystic: 31-03-2016 - 22:26

[O0NgocDuy0O]

PIC  sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS . 
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên. 
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương 
1)  $x^5-5x^3+4x=24(5y+1)$ 
2) $3x^5-x^3+6x^2-18x=2005$ 
 

1) Phương trình tương đương: $(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)=24(5y+1)\Rightarrow 24(5y+1)\vdots 5\Rightarrow 24\vdots 5(VL)$. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2) Xét tính chẵn lẻ suy ra $3x^5-x^3+6x^2-18x$ luôn chẵn. Suy ra vô lí vì $2005$ lẻ. Vậy phương trình vô nghiệm.

[O0NgocDuy0O]

PIC  sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS . 
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên. 
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương  
4) $x^3+2y^3=4z^3$ 

6) $x^2+y^2+z^2=2xyz$ 

4) Nhận thấy $x$ chia hết cho $2$. Đặt $x=2x_{1}(x_{1}\in \mathbb{N}^{*})\Rightarrow 8x_{1}^{3}+2y^{3}=4z^{3}\Rightarrow 4x_{1}^{3}+y^{3}=2z^{3}\Rightarrow y\vdots 2\Rightarrow y=2y_{1}(y_{1}\in \mathbb{N}^{*})\Rightarrow 2x_{1}^{3}+4y_{1}^{3}=z^{3}\Rightarrow z\vdots 2\Rightarrow z=2z_{1}(z_{1}\in \mathbb{N}^{*})\Rightarrow x_{1}^{3}+2y_{1}^{3}=4z_{1}^{3}.$ Phương trình này có dạng tương tự phương trình ban đầu. Tiếp tục như vậy thì  nếu $(x,y,z)$ là nghiệm phương trình ban đầu thì $(x,y,z)=(\frac{x}{2^{k}},\frac{y}{2^{k}},\frac{z}{2^{k}})$($k$ tự nhiên tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ban đầu. Điều này chỉ xảy ra khi $x=y=z=0$. Mà $x,y,z$ dương nên vô nghiệm.

6) Giải tương tự.

[hoctrocuaHolmes]

PIC  sẽ là nơi cập nhật những bài toán nghiệm nguyên hay dành cho học sinh THCS . 
Lưu ý : nếu đề không nói gì thì sẽ là giải phương trình nghiệm nguyên. 
Kí hiệu dg là giải phương trình nghiệm nguyên dương 
7) $x^4-2y^2=1$ 
8) $x^2+y^2=7z^2$ 
9) $x^2-y^3=7$ 
10) $m^2n+6mn+9n=32$ (dg)
12 ) $x^2+y^2=z^2$ 
13) $x^7+y^7=7z$ 

7)Phương trình Pell loại 1

8)Bài này có thể mở rộng lên nghiệm hữu tỉ

Từ phương trình trên suy ra $x,y\vdots 7$

Đặt $x=7x_{1};y=7y_{1}\Rightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=7z_{1}^{2}$.Quá trình tiếp tục đến $x_{n},y_{n},z_{n}\vdots 7\Rightarrow x,y,z\vdots 7^{n}\Rightarrow x=y=z=0$

9)Từ phương trình trên dễ có $x$ lẻ (cm bằng cách xét module 8)

$PT\Leftrightarrow y^{2}+1=(x+2)(x^2-2x+4)$

Nếu $x\equiv 3(mod 4)$ ($k$ nguyên dương) thì $y^{2}+1\equiv (3+2)(3^2-2.3+4)=35\equiv -1(mod 4)\Rightarrow y^{2}\equiv 2(mod 4)(VL)$

Do đó $x\equiv 1(mod 4)$$\Rightarrow x+2\equiv 3(mod 4)$ suy ra $x+2$ có ước nguyên tố là $4n+3$ $\Rightarrow 1\vdots 4n+3\rightarrow VL\rightarrow PTVNNN$

Spoiler

Đây là phương trình Lebesgue với $k=-7$   

10)$PT\Leftrightarrow n(m+3)^{2}=32$

12)Phương trình Pythagores

[I Love MC]

7)Phương trình Pell loại 1

8)Bài này có thể mở rộng lên nghiệm hữu tỉ

Từ phương trình trên suy ra $x,y\vdots 7$

Đặt $x=7x_{1};y=7y_{1}\Rightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=7z_{1}^{2}$.Quá trình tiếp tục đến $x_{n},y_{n},z_{n}\vdots 7\Rightarrow x,y,z\vdots 7^{n}\Rightarrow x=y=z=0$

9)Từ phương trình trên dễ có $x$ lẻ (cm bằng cách xét module 8)

$PT\Leftrightarrow y^{2}+1=(x+2)(x^2-2x+4)$

Nếu $x\equiv 3(mod 4)$ ($k$ nguyên dương) thì $y^{2}+1\equiv (3+2)(3^2-2.3+4)=35\equiv -1(mod 4)\Rightarrow y^{2}\equiv 2(mod 4)(VL)$

Do đó $x\equiv 1(mod 4)$$\Rightarrow x+2\equiv 3(mod 4)$ suy ra $x+2$ có ước nguyên tố là $4n+3$ $\Rightarrow 1\vdots 4n+3\rightarrow VL\rightarrow PTVNNN$

Spoiler

Đây là phương trình Lebesgue với $k=-7$   

10)$PT\Leftrightarrow n(m+3)^{2}=32$

12)Phương trình Pythagores

Mấy bài như này nên trình bày ra cho mọi người hiểu

[Minh Hieu Hoang]

Bài 14 ) Giả sử $x\geq y$ suy ra :

$(x+y)!\leq 2x!$ 

Nếu $y\geq 1 \Rightarrow 2x!\geq (x+y)!\geq (x+1)!$ $\Rightarrow 2x!\geq (x+1)x!\Rightarrow 2\geq x+1\Rightarrow 1\geq x\geq y\Rightarrow x=y=1$

Nếu $y\leq 1 \Rightarrow x=y=1$ (Vì x,y nguyên dương )     

[Minh Hieu Hoang]

sôi nổi lên nào