Chủ đề này có 2 trả lời

[youngahkim]

tinh tổng $S=\frac{1^{2}}{2}C{_{100}}^{1}+\frac{2^{2}}{3}C{_{100}}^{2}+...+\frac{101^{2}}{100}C{_{100}}^{100}$

[lvx]

tinh tổng $S=\frac{1^{2}}{2}C{_{100}}^{1}+\frac{2^{2}}{3}C{_{100}}^{2}+...+\frac{101^{2}}{100}C{_{100}}^{100}$

Mình đoán bạn muốn viết:
$S=\frac{1^2}{2}C_{100}^{1}+\frac{2^2}{3}C_{100}^{2}+...+\frac{100^2}{101}C_{100}^{100} = \sum_{k=1}^{100}{\frac{k^2}{k+1}C_{100}^{k}} $

Có:
$(1+x)^{100} = \sum_{k=0}^{100}{C_{100}^{k}x^k} $
Lấy tích phân từ 0 đến y ($y>0$):
$\int_0^y{(1+x)^{100}}=\int_0^y{\sum_{k=0}^{100}{C_{100}^{k}x^k} } $
$\frac{(1+y)^{101}-1}{101}=\sum_{k=0}^{100}{\frac{1}{k+1}C_{100}^{k}y^{k+1}} $
Chia 2 vế cho $y$:
$\frac{(1+y)^{101}-1}{101y}=\sum_{k=0}^{100}{\frac{1}{k+1}C_{100}^{k}y^{k}} $
Lấy đạo hàm theo $y$:
$\frac{101y(1+y)^{100}-(1+y)^{101}+1}{101y^2} =\sum_{k=0}^{100}{\frac{k}{k+1}C_{100}^{k}y^{k-1}}$ $(1)$
Lấy đạo hàm lần nữa:
$\frac{100(1+y)^{99}}{y^2}-\frac{2[101y(1+y)^{101}-(1+y)^{101}+1]}{101y^3}=\sum_{k=0}^{100}{\frac{k(k-1)}{k+1}C_{100}^{k}y^{k-2}}$
$=\sum_{k=0}^{100}{\frac{k^2}{k+1}C_{100}^{k}y^{k-2}}-\sum_{k=0}^{100}{\frac{k}{k+1}C_{100}^{k}y^{k-2}}$ $(2)$
Thay $y = 1$ vào $(1)$ và $(2)$:
$(1)|_{y=1}\Rightarrow \frac{99.2^{100}+1}{101} =\sum_{k=0}^{100}{\frac{k}{k+1}C_{100}^{k}} $
$(2)|_{y=1}\Rightarrow 100.2^{99}-2\frac{99.2^{100}+1}{101} = \sum_{k=0}^{100}{\frac{k^2}{k+1}C_{100}^{k}}-\sum_{k=0}^{100}{\frac{k}{k+1}C_{100}^{k}} $
Suy ra:
$S=\frac{1^2}{2}C_{100}^{1}+\frac{2^2}{3}C_{100}^{2}+...+\frac{100^2}{101}C_{100}^{100}$
$=\sum_{k=1}^{100}{\frac{k^2}{k+1}C_{100}^{k}} =- \frac{0}{0+1}C_{100}^0 +\frac{99.2^{100}+1}{101} + \left (100.2^{99}-2\frac{99.2^{100}+1}{101} \right ) = -1+100.2^{99}-\frac{99.2^{100}+1}{101}$

-----------
Nếu tính ra độ lớn, ta được $S$ vào cỡ: $S\approx 6,12.10^{31}$
Kết quả trên là phù hợp, vì nếu tính số hạng lớn nhất (ở $k=51$), ta được:
$\max_{1\leq k \leq 100}{\frac{k^2}{k+1}C_{100}^{k}} = \frac{51^2}{52}C_{100}^{51} \approx 4,948.10^{30}$
$\Rightarrow$Hợp lý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvx: 01-04-2016 - 10:59

[lvx]

Bonus bạn cái hình. Trục hoành là các giá trị của $k$, trục tung là giá trị của $\frac{k^2}{k+1}C_{100}^{k}$