Chủ đề này có 9 trả lời

[frozen2501]

Bài 1:Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:

                            $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}$$+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Bài 2: Cho x>0, y>0, z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Bài 3: Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c nào thỏa mãn cả ba bất đẳng thức:

                                        $4a\left ( 1-b \right )> 1$ ,  $4b\left ( 1-c \right )> 1$ ,  $4c\left ( 1-a \right )> 1$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi frozen2501: 03-04-2016 - 18:46

[githenhi512]

2. $\vee x,y,z>0; \sum \frac{1}{x}=\frac{1}{4}$ ta có: 

$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{4}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

T² suy ra VT$\leq \frac{1}{16}.4.\sum \frac{1}{x}=1$(đpcm)

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow$ x=y=z=0.75

[royal1534]

Bài 1:Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:

                            $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}$$+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Thực hiện phép trừ. Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$$\Leftrightarrow ab(a-b)\left[\dfrac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\dfrac{1}{(c+a)(c^2+a^2)} \right]+bc(b-c)\left[\dfrac{1}{(c+a)(c^2+a^2)}-\dfrac{1}{(a+b)(a^2+b^2)} \right]$$$$+ca(a-c)\left[\dfrac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\dfrac{1}{(a+b)(a^2+b^2)} \right] \ge 0$$

Không mất tính tổng quát. Giả sử: $a \geq b \geq c$ thì ta có:

$$\dfrac{1}{(b+c)(b^2+c^2)} \ge \dfrac{1}{(c+a)(c^2+a^2)} \ge \dfrac{1}{(a+b)(a^2+b^2)}$$

$\Rightarrow$ biểu thức trong ngoặc đều không âm. Từ đó ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 02-04-2016 - 21:51

[frozen2501]

2. $\vee x,y,z>0; \sum \frac{1}{x}=\frac{1}{4}$ ta có: 

$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{4}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

T² suy ra VT$\leq \frac{1}{16}.4.\sum \frac{1}{x}=1$(đpcm)

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow$ x=y=z=0.75

xin lỗi bạn có thể giải chi tiết 1 chút có đk k

[githenhi512]

Áp dụng bđt: $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{a+b+c}{x+y+z}$(x,y,z>0)

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

$\frac{16}{2x+y+z}=\frac{(2+1+1)^{2}}{2x+y+z}\leq \frac{4}{2x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

[Math Master]

Bài 1:Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:

                            $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}$$+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Bài 2: Cho x>0, y>0, z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Bài 3: Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c nào thỏa mãn cả ba bất đẳng thức:

                                        $4a\left ( 1-b \right )> 1$ ,  $4b\left ( 1-c \right )> 1$ ,  $4c\left ( 1-a \right )< 1$  

Nốt bài 3 ( Chắc cả ba cái đều dấu "<" thì phải )

Giả sử có các số dương a,b,c thỏa mãn cả ba bất đẳng thức trên

Khi đó $4a(1-b).4b(1-c).4c(1-a) < 1$

$VT = 64(a-a^2)(b-b^2)(c-c^2)  = -64[(a-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4})[(b - \frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}][(c-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] \geq -64\frac{-1}{64} = 1$ (Trái với GT)

Vậy không có ba số dương a,b,c thỏa mãn cả ba bất đẳng thức trên

[frozen2501]

bài 2 các bạn cũng có thể áp dụng bđt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

nó có thể dễ dàng làm hơn đối với học sinh lớp 8 như mk       

[frozen2501]

Nốt bài 3 ( Chắc cả ba cái đều dấu "<" thì phải )

Giả sử có các số dương a,b,c thỏa mãn cả ba bất đẳng thức trên

Khi đó $4a(1-b).4b(1-c).4c(1-a) < 1$

$VT = 64(a-a^2)(b-b^2)(c-c^2)  = -64[(a-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4})[(b - \frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}][(c-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] \geq -64\frac{-1}{64} = 1$ (Trái với GT)

Vậy không có ba số dương a,b,c thỏa mãn cả ba bất đẳng thức trên

xin lỗi bạn nha, đề bài mk sai thật nhưng cả 3 dấu đều là ''>''

bạn có thể nhân cả 3 vế lại rồi áp dụng bđt $4\left ( a-a^{2} \right )\leq 1$

[lehakhiem212]

Bài 2

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}=1$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$(hình như là Schwarz thì phải, cái này có thể chứng minh dễ dàng bằng AM-GM)

$\frac{1}{4x}+\frac{1}{x+y+2z}+\frac{1}{x+2y+z}\geq \frac{9}{6a+3y+3z}=\frac{3}{2x+y+z}$

xây dựng thêm hai cái nữa rồi cộng lại=>đpcm

[KietLW9]

Bài 1:Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:

                            $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}$$+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geqslant 0$

Tổng quát: $\frac{a^{r}}{b^{r}+c^{r}}+\frac{b^{r}}{c^{r}+a^{r}}+\frac{c^{r}}{a^{r}+b^{r}}\geq \frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s}$ với $a,b,c>0;r\geqslant s>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-05-2021 - 16:17