Chủ đề này có 3 trả lời

[lenadal]

Cho các số dương a;b;c. CMR  $\sum \frac{a^{2}(b+c)^{2}}{a^{2}+bc}\leq \sum a^{2}+\sum ab$

     

[dark templar]

Cho các số dương a;b;c. CMR  $\sum \frac{a^{2}(b+c)^{2}}{a^{2}+bc}\leq \sum a^{2}+\sum ab$

     

Biến đổi BĐT về dạng sau:

$$\sum \frac{ab(a+b)^{2}}{c^{2}+ab}\geqslant \sum a^{2}+\sum ab$$

 

Theo C-S:

$$\sum \frac{ab(a+b)^{2}}{c^{2}+ab}\geqslant \frac{\left [ \sum ab(a+b) \right ]^{2}}{\sum a^{2}b^{2}+abc\sum a}$$

 

Ta cần chứng minh :

$$\frac{\left [ \sum ab(a+b) \right ]^{2}}{\sum a^{2}b^{2}+abc\sum a}\geqslant \sum a^{2}+\sum ab$$

 

Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có:

$$\frac{\left ( pq-3r \right )^{2}}{q^{2}-pr}\geqslant p^{2}-q\Leftrightarrow 9r^{2}+p^{3}r+q^{3}\geqslant 7pqr$$

 

Đây chỉ là hệ quả của việc cộng 2 BĐT sau:

$pq\geqslant 9r$

$27r^{2}+p^{3}r+q^{3}\geqslant 9pqr$

[lenadal]

Biến đổi BĐT về dạng sau:

$$\sum \frac{ab(a+b)^{2}}{c^{2}+ab}\geqslant \sum a^{2}+\sum ab$$

 

Theo C-S:

$$\sum \frac{ab(a+b)^{2}}{c^{2}+ab}\geqslant \frac{\left [ \sum ab(a+b) \right ]^{2}}{\sum a^{2}b^{2}+abc\sum a}$$

 

Ta cần chứng minh :

$$\frac{\left [ \sum ab(a+b) \right ]^{2}}{\sum a^{2}b^{2}+abc\sum a}\geqslant \sum a^{2}+\sum ab$$

 

Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có:

$$\frac{\left ( pq-3r \right )^{2}}{q^{2}-pr}\geqslant p^{2}-q\Leftrightarrow 9r^{2}+p^{3}r+q^{3}\geqslant 7pqr$$

 

Đây chỉ là hệ quả của việc cộng 2 BĐT sau:

$pq\geqslant 9r$

$27r^{2}+p^{3}r+q^{3}\geqslant 9pqr$

cách làm của bạn phức tạp và rườm rà nhề

Bạn thử nghĩ xem chỉ cần dùng bđt C.B.S là ra được 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 03-04-2016 - 20:35

[lenadal]

GỢi Ý: Dễ dàng có được

$\frac{a^{2}(b+c)^{2}}{a^{2}+bc}=\frac{a^{2}(b+c)(b+c)^{2}}{b(a^{2}+c^{2})+c(a^{2}+b^{2})}$

SAu đó có thể áp dụng C.B.S hay không các bạn(anh; chị) tiếp tực suy nghĩ nhé