Chủ đề này có 1 trả lời

[frozen2501]

Bài 1:  Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}$=1. Chứng minh rằng:

                             $\frac{x^{3}}{y+2z}+\frac{y^{3}}{z+2x}+\frac{z^{3}}{x+2y}\geq \frac{1}{3}$

Bài 2: Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng:

                              $\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0$

Bài 3: Cho 2 số a và b thỏa mãn $a\geq 1,b\geq 1$. Chứng minh:

                              $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

[tpdtthltvp]

Bài 1:  Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}$=1. Chứng minh rằng:

                             $\frac{x^{3}}{y+2z}+\frac{y^{3}}{z+2x}+\frac{z^{3}}{x+2y}\geq \frac{1}{3}$

Bài 2: Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng:

                              $\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0$

Bài 3: Cho 2 số a và b thỏa mãn $a\geq 1,b\geq 1$. Chứng minh:

                              $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

Bài 1:

Áp dụng $schwarz$:

$\sum \frac{x^3}{y+2z}=\sum \frac{x^4}{xy+2xz}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(xy+yz+zx)}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}$

 

Bài 2:

$\text{BĐT}\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\geq 4\Leftrightarrow (a+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d})+(b+d)(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b})\geq 4$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ dễ thấy BĐT trên luôn đúng.

 

Bài 3:

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow (\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab})\geq 0\Leftrightarrow \frac{(ab-a^2)(1+b^2)+(ab-b^2)(1+a^2)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(ab-1)(a-b)^2}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\geq 0$

BĐT cuối luôn đúng với $a,b$ theo đề bài nên ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 03-04-2016 - 18:58