1 reply to this topic

[Tran Thanh Truong]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãm $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{2a^2+b^2+3}+\frac{b}{2b^2+c^2+3}+\frac{c}{2c^2+a^2+3}\leq \frac{1}{2}$

Edited by Tran Thanh Truong, 03-04-2016 - 23:51.

[lehakhiem212]

Đặt biểu thức đã cho là A

Ta có : $\frac{a}{2a^{2}+b^{2}+3}= \frac{a}{(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+1)+2}\leq \frac{a}{2ab+2a+2}$

$=>2A\leq \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ba}{abc+ab+a}+\frac{abc}{a^{2}bc+abc+ab}=\frac{ab+a+1}{ab+b+1}=1 \rightarrow A\leq \frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi a= b= c=1

Edited by lehakhiem212, 04-04-2016 - 06:09.