Chủ đề này có 3 trả lời

[I Love MC]

Cho $8$ số dương $a,b,c,d,x,y,z,t$ thỏa mãn điều kiện : $ax+by+cz+dt=xyzt$ . Chứng minh 
$x+y+z+t>\frac{4}{3}.(\sqrt{1+3\sqrt{a+b}+3\sqrt{a+c}+3.\sqrt{b+c}+3\sqrt{b+d}+3\sqrt{c+d}}-1)$ 

[NTA1907]

Cho $8$ số dương $a,b,c,d,x,y,z,t$ thỏa mãn điều kiện : $ax+by+cz+dt=xyzt$ . Chứng minh 
$x+y+z+t>\frac{4}{3}.(\sqrt{1+3\sqrt{a+b}+3\sqrt{a+c}+3.\sqrt{b+c}+3\sqrt{b+d}+3\sqrt{c+d}}-1)$ 

Đặt $A=3\sqrt{a+b}+3\sqrt{a+c}+3\sqrt{b+c}+3\sqrt{b+d}$

Ta có: $ax+by+cz+zt=xyzt$

$\Rightarrow by+cz+zt< xyzt\Leftrightarrow x> \frac{b}{zt}+\frac{c}{yt}+\frac{d}{yz}$

Tương tự cộng lại ta có:

$x+y+z+t> \frac{a+b}{zt}+\frac{a+c}{yt}+\frac{a+d}{yz}+\frac{b+c}{xt}+\frac{b+d}{xz}+\frac{c+d}{xy}$

$\Rightarrow x+y+z+t+zt+yt+yz+xt+xz+xy> (\frac{a+b}{zt}+zt)+(\frac{a+c}{yt}+yt)+(\frac{a+d}{yz}+yz)+(\frac{b+c}{xt}+xt)+(\frac{b+c}{xz}+xz)+(\frac{c+d}{xy}+xy)\geq \frac{2}{3}A$(theo AM-GM)

Mà ta luôn có bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x,y,z,t:

$zt+yt+yz+xt+xz+xy\leq \frac{3}{8}(x+y+z+t)^{2}$

$\Rightarrow \frac{3}{8}(x+y+z+t)^{2}+(x+y+z+t)-\frac{2}{3}A> 0$

Đặt $x+y+z+t=a$

$\Rightarrow 9a^{2}+24a-16A> 0$

$\Leftrightarrow (3a+4)^{2}> 16(A+1)$

Vì $A> 0, a>0$ nên $3a+4> 4\sqrt{A+1}$

$\Leftrightarrow a> \frac{4}{3}(\sqrt{A+1}-1)$(đpcm)

[I Love MC]

 

Đặt $A=3\sqrt{a+b}+3\sqrt{a+c}+3\sqrt{b+c}+3\sqrt{b+d}$

Ta có: $ax+by+cz+zt=xyzt$

$\Rightarrow by+cz+zt< xyzt\Leftrightarrow x> \frac{b}{zt}+\frac{c}{yt}+\frac{d}{yz}$

Tương tự cộng lại ta có:

$x+y+z+t> \frac{a+b}{zt}+\frac{a+c}{yt}+\frac{a+d}{yz}+\frac{b+c}{xt}+\frac{b+d}{xz}+\frac{c+d}{xy}$

$\Rightarrow x+y+z+t+zt+yt+yz+xt+xz+xy> (\frac{a+b}{zt}+zt)+(\frac{a+c}{yt}+yt)+(\frac{a+d}{yz}+yz)+(\frac{b+c}{xt}+xt)+(\frac{b+c}{xz}+xz)+(\frac{c+d}{xy}+xy)\geq \frac{2}{3}A$(theo AM-

 

Đề nó bá đạo quá em chưa nghĩ đến cách này

[hoctrocuaHolmes]

Cho $8$ số dương $a,b,c,d,x,y,z,t$ thỏa mãn điều kiện : $ax+by+cz+dt=xyzt$ . Chứng minh 
$x+y+z+t>\frac{4}{3}.(\sqrt{1+3\sqrt{a+b}+3\sqrt{a+c}+3.\sqrt{b+c}+3\sqrt{b+d}+3\sqrt{c+d}}-1)$ 

Tớ nhớ 1 bài trên báo TTT2 có bất đẳng thức chặt hơn như sau:Cho $8$ số dương $a,b,c,d,x,y,z,t$ thỏa mãn điều kiện : $ax+by+cz+dt=xyzt$ . Chứng minh 

$x+y+z+t > \frac{4}{3}.(\sqrt{1+3\sqrt{a+b}+3\sqrt{a+c}+3.\sqrt{b+c}+3\sqrt{b+d}+3\sqrt{c+d}})$ 

Cách chứng minh của báo nhìn hơi ''kinh dị'' ,đặt ẩn mấy lần luôn  

Cách của NTA1907 hay hơn nhiều